简易版：常用矩阵微分公式汇总

1 矩阵Y=f(x)对标量x求导

     矩阵Y是一个m×n的矩阵，对标量x求导，相当于矩阵中每个元素对x求导

dYdx=[df11(x)dx…df1n(x)dx⋮⋱⋮dfm1(x)dx…dfmn(x)dx]

2 标量y=f(x)对矩阵X求导

     注意与上面不同，这次括号内是求偏导，X是是一个m×n的矩阵，函数y=f(x)对矩阵X中的每个元素求偏导，对m×n矩阵求导后还是m×n矩阵

dydX=[∂f∂x11…∂f∂x1n⋮⋱⋮∂f∂xm1…∂f∂xmn]

3 函数矩阵Y对矩阵X求导

矩阵Y=F(x)对每一个X的元素求导，构成一个超级矩阵

F(x)=[f11(x)…f1n(x)⋮⋱⋮fm1(x)…fmn(x)]

X=[x11…x1s⋮⋱⋮xr1…xrs]

dFdX=[∂F∂x11…∂F∂x1s⋮⋱⋮∂F∂xr1…∂F∂xrs]

其中

∂F∂xij=[∂f11∂xij…∂f1n∂xij⋮⋱⋮∂fm1∂xij…∂fmn∂xij]

4 向量导数

若m×1向量函数y=[y1,y2,…,ym]T,其中，y1,y2,…,ym是向量的标量函数。x是n×1向量。则有

∂Y∂XT=[∂y1∂x1…∂y1∂xn⋮⋱⋮∂ym∂x1…∂ym∂xn]

这是一个m×n矩阵，称作向量函数y的Jacobi矩阵。

若y=[x1,x2,…,xn],则有

∂xT∂x=I

其中，I是单位矩阵。

若A和y均与向量x无关，则

∂xTAy∂x=∂xT∂xAy=Ay

注意到：yTAx=<ATy,x

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