理解信号处理：入门篇 - 傅里叶级数详解之周期序列的解析

对于连续时间信号，周期函数f_T(t)可分解为一系列角频率为nΩ(n=0,±1,±2)的虚指数e^jnΩt（其中Ω=2π/T为基波角频率）之和。类似的，周期为N的序列f_N(k)也可展开为许多虚指数e^jnΩk = e^jn2πk/N（其中Ω=2π/N为基波数字角频率）之和。需要注意的是，这些虚指数序列满足

因此，周期序列f_N(k)的傅里叶级数展开式仅为有限项（N项），若取其第一个周期n=0,1,2,…,N-1，则f_N(k)的展开式可写为

将上式两端同乘以e^-jmΩk并在一个周期内对k求和，有

分析上式右端，按指数级数求和公式

因此对k求和时，仅当n=m时为非零且等于N,故有