理解多元函数积分：二重积分的基础概念、特性及在直角坐标系与极坐标系下的表现与转化

文章目录

• abstract

• preface

• 二重积分

• 二重积分抽象自实际问题
• 二重积分的定义
• 二重积分式中的相关概念
• 积分区域的划分@二重积分在两种坐标系下的表示

• 直角坐标系中
• 极坐标中

• 积分和极限存在性
• 使用二重积分描述实际问题
• 二重积分的几何意义
• 二重积分的性质

abstract

• 一元函数积分(定积分)可以推广到多元积分
• 本文讨论最简单的多元函数积分中的最简单重积分问题:二重积分的定义和性质
• 二重积分在直角坐标和极坐标中的表示和转换

preface

• 一元函数积分是某种确定形式的和的极限,这种极限的概念推广到定义在区间,曲线和曲面上的多元函数的情形,便得到以下几类积分概念

• 重积分(例如二重积分,三重积分)
• 曲线积分
• 曲面积分

• 本文仅介绍二重积分的概念和基本性质,

• 按照二重积分的定义计算二重积分是不方便的,对于少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的,但是对于一般的函数和区域来说,是不合适的
• 具体的二重积分问题和计算方法另见它文,例如累次积分法

二重积分

二重积分抽象自实际问题

• 二重积分可以抽象自

• 曲顶柱体的体积
• 平面薄片的质量

• 设有一平面薄片占有面上的闭区域,它在点处的面密度为,这里,求薄片的质量
• 对于小闭区域而言,有近似:

• 两个问题的实际意义不同,但是所求量都归结为同一形式的和的极限
• 我们把这个形式的和的极限抽象为二重积分的定义

二重积分的定义

• 设是有界闭区域上的有界函数,将闭区域任意分成个小闭区域

• 其中表示第个小闭区域,也表示它的面积
• 在每个上任意取一点,作乘积,
  ,再作(0)
• 若当各个小闭区域的直径¹的最大值

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