实操指南:如何在极坐标中计算二维积分(第三章 高数相关内容之二)
最编程
2024-02-20 17:52:55
...
思考一个问题:
在极坐标下计算二重积分:
其中D: x² + y² ≤ 1在第一象限的部分
解: 积分区域D如下所示
特别注意: 这里对数求定积分时, 用到了 对数函数lnx的不定积分是xlnx -x +C
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再看一个例题
解: 积分区域D如下图3-18, D的边界 x² + y² = Rx, 可以化为(x - R/2)² + y² = (R/2) ² ,
它是圆形在(R/2, 0) , 半径为 R/2的圆, 将极坐标变换代入边界方程 x² + y² = Rx, 则可转化为r=Rcosθ, r 和 θ的变化范围, 容易得出 π/2 <= θ <= -π/2, 0≤r≤Rcosθ。
结论: 在极坐标下计算,
角度 θ 必须是从坐标原点为顶点, r必须是从坐标原点到 积分区域上的点的距离,
要特别注意, 不是以积分区域D 的的圆心为 顶点, 不是以积分区域的圆的半径作为r