第五章第四节：力学中的本构方程 - 描绘应力与形变间的桥梁

5. 4 本构方程 - 应力与变形之间的关系

 

5.4.1. 本构关系的一般形式

 

1. 若 Cauchy 应力张量 T 满足 \bexT(y)=ˆT(x,F(x)),\eex

则称材料是 (Cauchy) 弹性的; 这里 ˆT 称为响应函数. 若再 T(y)=ˆT(F(x)), 则称弹性体是齐次的, 否则称为非齐次的.

2. 以下讨论齐次弹性材料.

3. 客观性假设 (弹性体在刚体运动下不产生任何变形): \bexˆT(QF)=QˆT(F)QT.\eex

4. 材料称为超弹性的, 如果 \bex∃ W=ˆW(F),\stpij=\pˆW(F)\pfij.\eex

而 W=ˆW(F) 称为贮能函数 (应变能函数).

(1) 超弹性材料一定是弹性的.

(2) 对超弹性材料而言, 客观性假设由下式给出 \bexˆW(QF)=ˆW(F).\eex

 

5.4.2. 各向同性材料的本构方程

 

1. 定义: 如果弹性材料的本构方程 \bexT(y)=ˆT(F(x)),\eex

中的响应函数 ˆT 对一切正交阵 Q 有 \bexˆT(FQ)=ˆT(F),\eex 则称材料是各向同性的.

2. 对超弹性材料而言, 各向同性由贮能函数给出: \bexˆW(FQ)=ˆW(F),∀ 正交阵 Q.\eex

(证明见习题 6).

3. 由 \beex \bea \hat{\bf T}({\bf F})&=\hat {\bf T}({\bf V}{\bf R})\quad\sex{\mbox{极分解}}\\ &=\hat{\bf T}({\bf V})\\ &=\tilde {\bf T}({\bf B}^\frac{1}{2}) \eea \eeex

知各向同性材料的 Cauchy 应力张量可表为 V 或 B 的函数.

4. 对各向同性的弹性材料, 其本构方程有形式 \bexT=2∑i=0βi(IB)Bi,\eex

其中 IB 为 B 的三个主不变量. (Euler 坐标系下的 Cauchy 应力张量通过左 Cauchy - Green 应变张量给出)

5. 对各向同性的弹性材料, 其本构方程有形式 \bexΣ=2∑i=0γi(IC)Ci.\eex

(Lagrange 坐标下的 第二 Piola 应力张量通过右 Cauchy - Green 应变张量给出)

6. 对在自然状态 (ˆT(I)=0) 附近的变形, 各向同性材料的本构方程有形式 \bexΣ=\lm(\tr˜E)I+2μ˜E+o(|˜E|),\eex

其中 \lm,μ 为常数, 称为 Lam\'e 常数, 而 ˜E=12(C−I).

7. 如果 \bexΣ=\lm(\tr˜E)I+2μ˜E,\eex

则称材料是 St. Venant - Kirchhoff 材料.

(1) St. Venant - Kirchhoff 材料满足客观性假设 \bexˆT(QF)=QˆT(F)QT.\eex

仅须注意到 \beex \bea {\bf E}&=\cfrac{1}{2}({\bf C}-{\bf I})=\cfrac{1}{2}({\bf F}^T{\bf F}-{\bf I}),\\ J{\bf F}^{-1}\hat{\bf T}({\bf F}){\bf F}^{-T}&={\bf \Sigma}. \eea \eeex

(2) St. Venant - Kirchhoff 材料是各向同性的: \bexˆT(FQ)=ˆT(F).\eex

5.4.3. 贮能函数的例子

 

1. 对 St. Venant - Kirchhoff 材料, \bexP=FΣ=\lm(\tr˜E)F+2μF˜E.\eex

而贮能函数 \bexW=\lm2(\trE)2+μ\trE2.\eex 事实上, \beex \bea \cfrac{\p}{\p f_{ij}}(\tr \tilde{\bf E})^2 &=\tr \tilde{\bf E}\cdot \cfrac{\p}{\p f_{ij}} \sez{\cfrac{1}{2}({\bf F}^T{\bf F}-{\bf I})}\\ &=\tr\tilde{\bf E}\cdot\cfrac{\p}{\p f_{ij}}\sez{\cfrac{1}{2}\sum_{m,n} f_{nm}{f_{nm}}}\\ &=\tr\tilde{\bf E}\cdot f_{ij}\\ &=\sez{(\tr\tilde{\bf E})^2{\bf F}}_{ij};\\ \cfrac{\p}{\p f_{ij}}\sex{\tr\tilde{\bf E}^2} &=\sum_{m,n}\cfrac{\p}{\p e_{mn}}\sez{\sum_{p,q}e_{p,q}e_{pq}}\cdot\cfrac{\p}{\p f_{ij}}e_{mn}\\ &=\sum_{m,n}2e_{mn}\cdot\cfrac{1}{2}\cfrac{\p}{\p f_{ij}} \sum_p f_{pm}f_{pn}\\ &=\sum_{mn}e_{mn}\sex{\delta_{mj}f_{in}+f_{im}\delta_{jn}}\\ &=\sum_n e_{jn}f_{in}+\sum_me_{mj}f_{im}\\ &=2({\bf F}\tilde{\bf E})_{ij}. \eea \eeex

2. 各向同性材料的贮能函数的形式 由客观性假设, \beex \bea &\quad\hat W({\bf Q}{\bf F})=\hat W({\bf F})\quad\sex{\forall\mbox{ 正交阵 }{\bf Q}}\\ &\ra \hat W({\bf F})=\hat W({\bf U})\quad\sex{{\bf Q}={\bf R}^T}\\ &\quad\quad\quad\quad\ =\tilde W({\bf C})\quad\sex{\tilde W({\bf C})=\hat W({\bf C}^\frac{1}{2})}. \eea \eeex

由各向同性, \beex \bea \hat W({\bf F})&=\hat W({\bf F}{\bf Q})\\ &=\tilde W(({\bf F}{\bf Q})^T({\bf F}{\bf Q}))\\ &=\tilde W({\bf Q}^T{\bf C}{\bf Q})\\ &=\tilde W(\diag(\lm_1,\lm_2,\lm_3))\quad\sex{\mbox{取适当正交阵 }{\bf Q}}. \eea \eeex 如此, ˆW 仅依赖于 C 的主值, 而仅依赖于 U 的主值 μ1,μ2,μ3.

3. 贮能函数的例子

(1) Ogden 材料.

(2) Neo - Hookean 材料.

(3) Mooney - Rivlin 材料.

(3) 可压缩的 Ogden 材料.

(4) Ciarlet - Geymonet 材料.

 

5.4.4. 线性弹性 - 广义 Hooke 定律

 

1. 广义 Hookean 定律: 在自然状态下的参考构形的附近的小变形, \bexP=AE\sexpij=∑klaijklekl,\eex

其中 E 为无穷小应变张量.

(1) 由 C 的对称性知 \bexaijkl=aijlk.\eex

(2) 由 ˉP 的对称性知 \bexaijkl=ajikl.\eex

(3) 若材料是超弹性的, 则 (见习题 4) \bexaijkl=akl