信号与系统 (8) - 复指数形式的傅立叶级数

满足Direchlet条件的周期信号或特定时间区间的信号可以被傅里叶级数在功率上没有误差的表达，常见的傅里叶级数的形式有两种，即：
$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{+\infty }[a_{n}cos(n\Omega t)+b_{n}sin(n\Omega t)]\\ a_n& =\frac{2}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)cos(n\Omega t)dt\\ b_n& =\frac{2}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t)sin(n\Omega t)dt\end{array}$$
或
$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{+\infty }{A}_{n}cos(n\Omega t+{\phi }_n)\\ A_n& =\sqrt{a_n^2+b_n^2},\\ {\phi }_n& =-arctan\frac{b_n}{a_n}\end{array}$$
这两种表达方式在物理上很容易理解，即信号可以被分解为一个直流分量，和一系列交流分量的叠加。除了这两种表达方式，傅里叶级数的复指数形式也是最常见的表达形式，这种形式在计算上具有很大的优势。

1. 如何获得傅里叶级数的复数形式？

和之前讨论的信号分解累，如果存在一组正交函数集，则信号可以通过正交函数集中的子信号的叠加进行表示。子信号的系数称为相关系数。相关内容可以回顾信号与系统（6）- 信号频域研究的思路及正交函数集。正弦函数集是一套正交函数集，除此之外，复指数函数也是正交函数集，即：
{ 1 , e j Ω t , e j 2 Ω t , e j 3 Ω t ⋯   , e j n Ω t } \{ 1, e^{j\Omega t }, e^{j2\Omega t }, e^{j3\Omega t }\cdots, e^{jn\Omega t }\} {1,ejΩt,ej2Ωt,ej3Ωt⋯,ejnΩt}
或记为：
{ e j n Ω t   ∣ n ∈ I } \{ e^{jn\Omega t }\space|n \in I \} {ejnΩt ∣n∈I}
则信号$f(t)$通过复指数正交函数集展开为：
$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }[C_n\cdot e^{j(n\Omega t)}]$$
注意求和上下限为从负无穷到正无穷，这意味着复指数形式的傅里叶变换会出现“负频率”。至于为什么出现负频率将在之后解答。

由之前正交函数集的知识可知，上式中系数$C_n$为：
$$C_n=\frac{{\int }_{t_1}^{t_2}}{{\int }_{t_1}^{t_2}(e^{jn\Omega t})(e^{jn\Omega t}{)}^{\ast }}$$