傅里叶级数（《信号与系统》笔记）

这学期的《信号处理理论与应用Ⅰ》课程用到了傅里叶级数，于是我尝试从信号分解的角度重新理解傅里叶级数，详细内容如下。

信号在正交集中的分解

矢量分解

为了方便理解，先从矢量分解说起，

单矢量基底

如左图，使\(\lambda_1\overrightarrow{x_1}\)近似于矢量\(\overrightarrow{a}\)，误差尽可能的小（定义误差为\(\overrightarrow{a-\lambda_1 x_1}\)的模长），可以得到使误差最小的系数为

如果系数\(\lambda = 0\)，则说明\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{x_1}\)垂直（正交）。

多矢量基底

为了将误差进一步缩小，现在用多个矢量的线性组合近似表示矢量\(\overrightarrow{a}\)

一般情况下，如果\(\overrightarrow{x_i}\)的方向未知，某一个矢量基底的系数不仅与这个矢量有关，还与其它矢量基底的角度有关；如果满足矢量\(\overrightarrow{x}\)两两正交，则可以证明\(\lambda_i = \dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{x_i}}{\overrightarrow{x_i}\cdot\overrightarrow{x_i}}\)

信号分解

与矢量分解类似推导信号分解

单标准信号

在时间范围\((t_1, t_2)\)内，用\(c_1f_1(t)\)近似函数\(f(t)\)，并使得误差最小

此处误差讨论方均误差\(\overline{\varepsilon^2(t)} = \dfrac{1}{t_2-t_1}\displaystyle \int_{t_1}^{t_2}\lvert\varepsilon(t)\rvert^2 dt = \dfrac{1}{t_2-t_1}\displaystyle \int_{t_1}^{t_2}\varepsilon(t)\cdot\varepsilon^*(t) dt\)

与矢量分解类似，可以求得系数

如果\(c=0\)，则称函数\(f(t)\)与\(f_1(t)\)正交。

多标准信号

现在用多个标准信号的线性组合来近似表示信号\(f(t)\)

当\(f_i(t)\)两两正交时，可以证明\(c_i = \dfrac{\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f(t)f_i^*(t)dt}{\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f_i(t)f_i^*(t)dt}\)

综上，矢量与函数的运算和分解如下

信号的傅里叶级数表示

三角函数形式的傅里叶级数表示

选择一个正交函数集\(\{1,\cos\omega t, \sin\omega t, \cos2\omega t,\sin2\omega t, \cdots, \cos k \omega t, \sin k\omega t\}\)，其中\(\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{t_2-t_1}\)

为什么不选泰勒级数呢，我算它应该是不正交的????

下面说明该函数集的几个性质

1. 正交性：函数两两正交

2. 当\(n\not=0\)时，\(\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\cos^2(n\omega t)dt = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sin^2(n\omega t)dt = \dfrac{T}{2} = \dfrac{t_2 - t_1}{2}\)；当\(n=0\)时，\(\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}1dt = T = t_2 - t_1\)

此时，可以将任意函数\(f(t)\)在这个正交函数集中展开，即表示成多个正（余）弦函数的线性组合

其中系数可以根据上文表格中的表达式求出

不过，为了表达方便，可以将分解式改写为下面表达式（把直流分量\(a_0\)改为\(\dfrac{a_0}{2}\)）

则系数为

表达式右边是多个周期为\(T\)的函数的和，仍然是周期为\(T\)的函数；这种分解可以用来研究时间区间\((t_1, t_2)\)内的信号分解，也可以研究周期为\(T\)的函数在整个时间区间的信号分解。

令\(A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}, \varphi_n = -\arctan\dfrac{b_n}{a_n}\)，则上面的分解可以表达为

可以将它看成是\(\{\cos(n\omega t)|n=0,1,2,3,\cdots \}\)平移之后的线性组合。

不清楚为啥大学教材这么喜欢用\(\cos\)函数，感觉相位前面加个负号就很奇怪????

其中\(\dfrac{a_0}{2}\)称为信号的直流分量，\(a_1\cos\omega t,b_1\sin\omega t或A_1\cos(\omega t + \varphi_1)\)称为信号的基波分量；\(a_n\cos(n\omega t),b_n\sin(n\omega t)或A_n\cos(n\omega t + \varphi_n)\)称为信号的\(n\)次谐波分量。

复数形式的傅里叶级数表示

选择正交函数集为\(\{1,e^{j\omega t}, e^{h2\omega t}, \cdots, e^{jn\omega t}, \cdots\}\)，得到级数展开式为

得到其中的系数

推导过程如下：

\[\begin{aligned} f(t) &= \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}A_n\cos(n\omega t + \varphi_n)\\ &=\dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}A_n\dfrac{e^{j(n\omega t + \varphi_n)} + e^{-j(n\omega t + \varphi_n)}}{2}\\ &= \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}(\dfrac{A_n}{2}e^{j(n\omega t + \varphi_n)} +\dfrac{A_n}{2} e^{j((-n)\omega t + (-\varphi_n)})\\ 令\varphi_{-n} = -\varphi_n, A_{-n} = A_n，\\ f(t) &= \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{A_n}{2}e^{j(n\omega t + \varphi_n)} + \displaystyle \sum_{n=-1}^{-\infty}\dfrac{A_n}{2}e^{j(n\omega t + \varphi_n)}\\ 令\varphi_0 = 0, A_0 = a_0,\\ f(t) &= \dfrac{1}{2} \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(A_n e^{j\varphi_n} \cdot e^{j(n\omega t)})\\ 其中， A_n e^{j\varphi_n} &= \sqrt{a_n^2 + b_n^2}(\cos\varphi_n + j\sin\varphi_n) \\ &= a_n -jb_n\\ &= \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cos(n \omega t)dt -j\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f(t)\sin(n \omega t)dt\\ &=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f(t)[\cos(n\omega t) - j\sin(n\omega t)]dt\\ &= \dfrac{2}{T} \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} f(t)e^{-jn\omega t}dt\\ \end{aligned} \]

奇偶性

任何函数都可以写成奇函数和偶函数的和：

• 如果信号函数是偶函数，则傅里叶级数中只有直流分量和余弦分量；

• 如果信号函数是奇函数，则傅里叶级数中只有正弦分量；

• 奇谐函数的傅里叶记住中只有奇次谐波分量；偶谐函数的傅里叶级数中只有直流和偶次谐波分量。