傅里叶级数和傅里叶变换

最编程 2024-03-01 12:38:26

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1.傅里叶级数

它是一种特殊形式的函数展开，将一个函数展开，用1,cosx, sinx等基底函数表示。任意两个基底函数在[0,2π]上是正交的，正交的意思就是积分为0.

f(x)为周期函数：

f (x) = a 0 + \sum n = 1 \infty (a n c o s n x + b n s i n n x)

可以求出3个系数：

a 0 = 1 2 π \int 2 π 0 f (x) d x

a n = 1 π \int 2 π 0 f (x) c o s n x d x

b n = 1 π \int 2 π 0 f (x) s i n n x d x

它描述函数的收敛性，函数连续的地方收敛于f(x)，不连续的地方收敛于(f(x−0)+f(x+0))/2.

如果函数不是周期性的，那么上面的一般表示形式不能用，但是可以展开为半幅傅里叶级数，半幅傅里叶级数有2种表现形式，分别为正弦和余弦。我的理解是因为它是半幅的，所以只需要sin或者cos就可以表示了。

正弦形式：

ϕ (x) = \sum n = 1 \infty C n s i n n π x L

展开系数：

C n = 2 L \int L 0 ϕ (x) s i n n π x L d x (n = 1, 2, 3...)

余弦的就不写了。

傅里叶积分与傅里叶级数的区别是什么？

前面2个级数分别对应周期和有限区间。傅里叶积分对应无限区间、非周期函数。

推导傅里叶积分的过程会用到绝对可积，它的的2个性质：

1.积分有限

2.当x为无穷大时，f(x)=0

原来傅里叶级数是这样的：

f (x) = a 0 + \sum n = 1 \infty (a n c o s n π L x + b n s i n n π L x)

写成傅里叶积分是这样的：

f (x) = \int \infty 0 [A (ω) c o s ω x + B (ω) s i n ω x] d ω

其中：

A (ω) = 1 π \int + \infty - \infty f (t) c o s ω t d t

B (ω) = 1 上一篇： [傅立叶变换及其应用学习笔记] 课程概述 下一篇： 从傅里叶级数到离散傅里叶变换