信号与系统学习笔记］- 周期信号的傅里叶级数表示法] - 周期信号的傅里叶级数特性解释

在这一篇 $Blog$ 中，博主打算记录一下周期信号傅里叶级数的一些重要性质。在阅读本文之前，请明确一件事情：对于周期信号我们讲的是傅里叶级数展开。对于非周期信号我们讲傅里叶变换。

一、什么样的周期信号才能够做傅里叶展开？

当时傅里叶的论文中有这样一句话：“所有的连续时间信号都能够表示成成谐波关系的复指数信号的加权和”。在当时引来了像拉普拉斯等人的强烈反对。傅里叶认为：对于周期方波信号，只要我取的正弦信号足够多，那么我就一定能够完美地拟合出来。如下图所示：

但实际上并不是这样，无论我们的正弦信号取了多少，在原方波的间断点处不可避免地会出现震荡和超量。超量的幅度并不会随着我们所选取的正弦波的数量增多而减少，选取的正弦波的数量增多只会使得超量的震荡频率更大，并且朝着间断点处压缩。这就是所谓的 “吉布斯现象”。

那么，到底什么样的连续时间信号才能够展开成傅里叶级数呢？我们下面给出三个条件（其中条件三是狄里克雷第一定理）。连续时间的周期信号只要满足三者之一，就可以展开成傅里叶级数：
【条件一】：信号全部连续
【条件二】：信号在一个周期内能量有限：$$\frac{1}{T_0}{\int }_{T_0}|x(t){|}^{2}dt<\infty$$
【条件三】：信号在一个周期内绝对可积：$$\frac{1}{T_0}{\int }_{T_0}|x(t)|<\infty$$

二、周期信号傅里叶级数的重要性质

2.1 线性

首先我们给出定义：

连续时间信号傅里叶级数的线性性：若信号 $x_1(t)$的傅里叶级数是 $a_k$，信号 $x_2(t)$ 的傅里叶级数是 $b_k$，那么，信号 $A{x}_1(t)+B{x}_2(t)$ 的傅里叶级数就是 $A{a}_k+B{b}_k$。

首先，我们先知道求傅里叶系数的过程就是一个积分的过程，如果我们用 $\int$ 表示计算傅里叶系数（当然这样的写法不够准确，但是为了说明问题暂且先这样用）。

所以，我们如果对信号 $A{x}_1(t)+B{x}_2(t)$ 求傅里叶系数：$\int A{x}_1(t)+B{x}_2(t)$，就可以这样变换：$$\begin{array}{rl}& \int A{x}_1(t)+B{x}_2(t)=\int A{x}_1(t)+\int B{x}_2(t)=A\int x_1(t)+B\int x_2(t)\end{array}$$
而我们知道：$a_k=\int x_1(t)$；$b_k=\int x_2(t)$，所以信号 $A{x}_1(t)+B{x}_2(t)$ 的傅里叶系数就是：$A{a}_k+B{b}_k$

2.2 时移特性

我们同样先看定义：

连续时间信号傅里叶级数的时移特性：假设 $x(t)$ 的傅里叶系数是 $a_k$，那么 $x(t-t_0)$ 的傅里叶系数就是 $a_k{e}^{-jk{\omega }_0{t}_0}$，也即是说，时移并不会改变傅里叶级数的幅度，改变的是傅里叶级数的相位。

首先根据定义，我们可以得到：$$a_k=\frac{1}{T_0}{\int }_{T_0}x(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt$$
下面我们对信号 $x(t-t_0)$ 求傅里叶级数：因为 $x(t-t_0)$ 只是时移，所以周期并不会改变，仍为 $T_0$ 1 T 0 ∫ x ( t − t 0 ) e