学习笔记：线性代数 - 正交基和标准正交基
最编程
2024-03-10 19:56:16
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零向量是一个特殊的向量，它与任何向量点乘的结果都为零，意味着它与任意向量都垂直；
因此，对于一组正交向量组来说，内部就有零向量O的存在。 但是当引入了在正交向量组中引入零向量之后，这组向量就一定线性相关了，因为根据线性相关的定义，零向量前面的系数ko可以取任意非零值，也就是会存在一组非全零的k使得k1→v1+k2→v2+⋯+kp→vp+koO=0这条等式成立。所以，当抛去正交向量组中的零向量之后，就有剩下的正交向量呈线性无关。从欧几里得空间来看，线性相关可以想象成是两向量共线，三个向量共面，四个向量共体这种关系，总之就是一组向量中某一个向量可以表示成其它向量的线性组合。当一个不含有零向量的向量组里内两两向量间互相垂直的情况下，就有对于方程：
k1→v1+k2→v2+⋯+kp→vp=0 只有唯一零解。
关于方程↑只有唯一零解的证明
当从一组正交非零向量组中取出任意一个向量与方程两边进行相乘可以得到：(k1→v1+k2→v2+⋯+kp→vp)⋅→vi=0⋅→vi=0
展开后，由于向量组里内两两向量间互相垂直，所有→vi与向量组内的其它向量点乘结果为零，除了与向量组内的自己点乘的时候不为零:
化简后得到 ki⋅→vi⋅→vi=0→ki‖→vi‖2=0→‖→vi‖2>0→ki=0
∴同这这种方式，循环可以求解出方程k1→v1+k2→v2+⋯+kp→vp=0的解k全为0，所以这个方程只有唯一零解；
所以一组正交非零向量组内的任意一个向量都无法表示为其它向量的线性组合，它们都是线性无关的。
因此，对于一组正交向量组来说，内部就有零向量O的存在。 但是当引入了在正交向量组中引入零向量之后，这组向量就一定线性相关了，因为根据线性相关的定义，零向量前面的系数ko可以取任意非零值，也就是会存在一组非全零的k使得k1→v1+k2→v2+⋯+kp→vp+koO=0这条等式成立。所以，当抛去正交向量组中的零向量之后，就有剩下的正交向量呈线性无关。从欧几里得空间来看，线性相关可以想象成是两向量共线，三个向量共面，四个向量共体这种关系，总之就是一组向量中某一个向量可以表示成其它向量的线性组合。当一个不含有零向量的向量组里内两两向量间互相垂直的情况下，就有对于方程：
k1→v1+k2→v2+⋯+kp→vp=0 只有唯一零解。
关于方程↑只有唯一零解的证明
当从一组正交非零向量组中取出任意一个向量与方程两边进行相乘可以得到：(k1→v1+k2→v2+⋯+kp→vp)⋅→vi=0⋅→vi=0
展开后，由于向量组里内两两向量间互相垂直，所有→vi与向量组内的其它向量点乘结果为零，除了与向量组内的自己点乘的时候不为零:
化简后得到 ki⋅→vi⋅→vi=0→ki‖→vi‖2=0→‖→vi‖2>0→ki=0
∴同这这种方式，循环可以求解出方程k1→v1+k2→v2+⋯+kp→vp=0的解k全为0，所以这个方程只有唯一零解；
所以一组正交非零向量组内的任意一个向量都无法表示为其它向量的线性组合，它们都是线性无关的。