阅读笔记:博弈论导论 - 07 - 完全信息的动态博弈 初步知识
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2024-03-16 13:11:25
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读书笔记: 博弈论导论 - 07 - 完整信息的动态博弈 预备知识
完整信息的动态博弈 预备知识
本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。
动态博弈(Dynamic Games)
静态博弈是每个玩家同时(并且在不知道其他玩家选择的情况下)做出选择。 动态博弈引进了玩家做出选择的先后次序。 注意:玩家i做出了选择后,玩家j知道玩家i做出了选择,但是不一定知道玩家i做出了什么选择。
扩展形式博弈(The Extensive-Form Game)
扩展形式博弈的表达结构:
- Set of player, N.
- Players payoff as a function of outcomes, \{ v( \cdot ) \}_{i \in N}
- Order of moves.
- Actions of players when they can move.
- The knowledge that players have when they can move.
- Probability distributions over exogenous events. "exogenous"是指预先确定的分布概率自然选择(不依赖于玩家的选择)
- The structure of the extension-form game represented by 1-6 is common knowledge among all the players.
博弈树(game tree)
- 博弈树 博弈树用来表示扩展形式博弈。 一个博弈树是一个带先后关系x > x'的节点集合x \in X x > x'表示x在x'之前。 每个节点只有一个父。 先后关系(precedence relation)具有: 传递性(transitive): x > x', x' > x'' \implies x > x'' 不对称性(asymmetric): x > x' \implies \ not \ x' > x 不完整性(incomplete): 不是每一对x, y有先后次序。 有一个根节点,标记为x_0,是其它所有节点的祖先。 没有子的节点称为末端节点(terminal nodes),表示为Z \subset X 末端节点表示为结果,并关联收益函数。 非末端节点被赋予1)一个玩家\i(x),和行动集合A_i(x),或者2)自然(Nature)。
- 信息集合列表(the collection of information set of player i) 玩家i的信息集合(information set)列表,每个信息集合h_i \in H_i博弈树中的玩家i运行的部分节点,具有以下属性:
- 如果h_i = \{ x \}是一个单例集合,则运行x的玩家i知道他位于x节点上。
- 如果h_i = \{ x, x', \cdots \},则运行x的玩家i不知道他位于x节点上还是位于x'节点上。
- 如果h_i = \{ x, x', \cdots \},则A_i(x') = A_i(x)\
更多的解释,这是为完美信息的定义打铺垫。 如果玩家i的信息集列表都是h_i = \{ x \},则表明玩家i知道:1) 行动次序, 2)对方的行动是什么。 如果玩家i的信息集列表存在是h_i = \{ x, x', \cdots \},则表明玩家i知道:1) 行动次序。但是不知道: 1)对方的行动是什么。 这是导致玩家i: 1)性质2:不决定位于博弈树上的那个节点,因此,性质3:A_i(x') = A_i(x)也必然成立。
- 完美信息博弈 一个完整信息博弈中,每个玩家i的每个信息集都是单例集合,并且没有自然(Nature)选择,则这个博弈是完美信息博弈。
- 不完美信息博弈 一个完整信息博弈中,存在一些信息集不是单例集合,或者有自然(Nature)选择,则这个博弈是完美信息博弈。
可以将自然选择理解为掷骰子、抽签、盲牌。
- 扩展形式博弈的纯策略 玩家i的一个纯策略是一个完整计划,描述了在每一个信息集合上,玩家i会选择哪个纯行动。
- 扩展形式博弈的纯策略 玩家i的一个纯策略是影射: s_i: H_i \to A_I,对于每个信息集h_i \in H_i,有s_i(h_i) \in A_i(h_i)
- (A_i(h_i)表示玩家i的一个信息集对应的行动集合。
- 扩展形式博弈的策略数 |S_i| = m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_k \\ where \\ |S_i| \text{ : the number of elements in } S_i \\ m_j \text{ : the number of actions in the j-nd information set} \\ k \text{ : the number of information sets}
- 混合策略(mixed strategy) 一个混合策略是一个在各个纯策略上的概率分布。
- 行为策略(behavioral strategy) 一个行为策略:对每一个信息集h_i \in H_i,有一个在各个行动a_i(h_i) \in A_i(h_i)上的概率分布,表示为 \sigma_i : H_i \to \Delta A_i(h_i) \sigma_i(a_i(h_i)): 玩家i,在信息集h_i上,选择行动a_i(h_i) \in A_i(h_i)的概率。
- 纯策略 vs 混合策略 vs 行为策略 纯策略使用一个行动作为策略结果。 混合策略在玩游戏前是一个行为的概率分布,最终还是使用了一个纯策略。 行为策略在玩游戏前和玩的时候,都是一个行为的概率分布。
- 完美回忆博弈(a game of perface recall) 在完美回忆博弈中,每个玩家都不会忘记之前知道的信息集。
- 均衡路径(the equilibrium path) 在一个扩展形式博弈中,行为策略的纳什均衡\sigma^* = (\sigma_1^*, \cdots, \sigma_n^*) 如果一个信息集有可能到达这个纳什均衡\sigma^*,则称这个信息集在均衡路径上。 如果一个信息集不可能到达这个纳什均衡\sigma^*,则称这个信息集不在均衡路径上。
参照
- Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)
- 读书笔记: 博弈论导论 - 01 - 单人决策问题
- 读书笔记: 博弈论导论 - 02 - 引入不确定性和时间
- 读书笔记: 博弈论导论 - 03 - 完整信息的静态博弈 预备知识
- 读书笔记: 博弈论导论 - 04 - 完整信息的静态博弈 理性和公共知识
- 读书笔记: 博弈论导论 - 05 - 完整信息的静态博弈 纳什均衡
- 读书笔记: 博弈论导论 - 06 - 完整信息的静态博弈 混合的策略