欧拉公式

世界上最伟大的十个公式：

欧拉公式、麦克斯韦方程组、牛顿第二定律、勾股定理、薛定谔方程、质能方程、德布罗意方程组、1+1=2、傅立叶变换、圆的周长公式。

欧拉公式的巧妙之处在于，它没有任何多余的内容，将数学中最基本的e、i、π放在了同一个式子中，同时加入了数学也是哲学中最重要的0和1，再以简单的加号相连。

高斯曾经说：“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力，他不可能成为数学家。” 虽然不敢肯定它是世界上“最伟大公式"，但是可以肯定它是最完美的数学公式之一。

欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立和三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。

虚数i=√−1

在复平面上画一个单位圆，单位圆上的点可以用三角函数来表示：

复平面上乘法的几何意义

欧拉公式与泰勒公式

欧拉公式：eiθ = cosθ + isinθ

欧拉公式的理解

我们可以把eiθ看作通过单位圆的圆周运动来描述单位圆上的点，cosθ+isinθ通过复平面的坐标来描述单位圆上的点，是同一个点不同的描述方式，所以有eiθ=cosθ+isinθ。

为什么eiθ是圆周运动？

推广到复数域：

根据之前对复数乘法的描述，乘上(1+i/n)是进行伸缩和旋转运动，n取值不同，伸缩和旋转的幅度不同。

我们来看看ei=ei×1如何在圆周上完成1弧度的圆周运动的：

2i的几何含义是什么？

2i = eiln2，即沿圆周运动ln2弧度

欧拉恒等式

当θ=π的时候，代入欧拉公式：eiπ=cosπ+isinπ=−1⟹eiπ+1=0。