文章目录
- 一、原问题与对偶问题标准形式
- 二、互补松弛定理
- 三、已知原问题最优解求对偶问题最优解
- 四、使用单纯形法求解
- 五、使用互补松弛定理公式一求解
- 六、使用互补松弛定理公式二求解 ( 无效方法 )
- 七、总结
一、原问题与对偶问题标准形式
原问题
:
;
对偶问题
:
等价方法 :
-
生产 : 目标函数追求 利润最大化 , 约束方程设备的使用时长受约束 , 小于等于 某个时间值 ;
-
出租设备 : 目标函数追求 租金最小化 , 约束方程设备产生的利润要 大于等于 生产的利润 , 不能亏钱 ;
二、互补松弛定理
和
分别是 原问题
问题 和 对偶问题
的 可行解 ,
这两个解各自都是对应 线性规划问题 的 最优解
的 充要条件是 :
其中
是 松弛变量 或 剩余变量 ;
三、已知原问题最优解求对偶问题最优解
已知线性规划 :
上述线性规划的最优解是
, 求其对偶问题最优解 ;
四、使用单纯形法求解
方法一 : 写出上述线性规划的对偶问题 , 然后使用单纯形法求最优解 ,
首先写出 对偶问题 , 然后转为 标准形式 , 找 单位阵 作为基矩阵 , 然后得到基变量 , 假设非基变量为
求出 基解 ,
在单纯形表中计算 检验数 , 如果 检验数都小于
就是最优解 , 如果检验数都大于
, 则不是最优解 ;
根据检验数确定 出基变量 , 然后计算出 入基变量 , 进行下一次迭代 ;
方程组 同解变换, 构造单位阵 , 然后计算检验数 , 继续按照上述方法进行迭代 ;
该方法比较麻烦 ;
五、使用互补松弛定理公式一求解
方法二 : 利用 互补松弛定理 计算 ;
写出原问题的对偶问题 :
给对偶问题的约束方程添加剩余变量 :
互补松弛定理 :
"
和
分别是 原问题
问题 和 对偶问题
的 最优解 "
其中
是 松弛变量 或 剩余变量 ;
原问题
线性规划最优解是
,
对偶问题的剩余变量是
互补松弛定理中
, 将上述
和
代入上述式子得到 :
已知
, 上述
, 因此
;
将
代入到约束方程
中 ;
得到
, 解上述方程 ,
① 变换 :
② 求解 :
上述求出的值就是最优解 , 即
;
六、使用互补松弛定理公式二求解 ( 无效方法 )
方法三 : 利用 互补松弛定理 计算 ;
互补松弛定理 :
"
和
分别是 原问题
问题 和 对偶问题
的 最优解 "
其中
是 松弛变量 或 剩余变量 ;
上面 " 五、使用互补松弛定理公式一求解 " 小节 使用的是
公式进行求解 , 在本小节中使用
公式进行求解 ;
原问题
线性规划最优解是
, 将该最优解代入原问题的约束条件中 , 求出原问题的约束变量
;
原问题 :
原问题添加松弛变量后 :
将最优解
代入原问题 :
得到 :
这个信息是无用的 , 根据这个
乘以任意的
值都是
, 求不出对偶问题的最优解 ;
七、总结
互补松弛定理 :
"
和
分别是 原问题
问题 和 对偶问题
的 最优解 "
其中
是 松弛变量 或 剩余变量 ;
原问题
线性规划最优解是
,
对偶问题的剩余变量是
最优解中不等于
的 , 对应的剩余变量中对应的一定为
,
如果最优解中等于
, 那么剩余变量中的对应的值就不确定了 ;