[博弈论]巴什游戏

「这是我参与11月更文挑战的第19天，活动详情查看：2021最后一次更文挑战」。

巴什博弈

简介

巴什博弈（Bash Game）:一堆有$n$个物品，如果有甲乙两个人。甲和乙轮流从这对物品中选取$1\sim m$个物品，最后取光物品的人获胜，也就是没有取完物品的人输。

思路

若甲先手，设当前物品数为$r$。

当$r\le m$时，甲可一次取完，获胜。

当$r=m+1$时，甲无论取多少都会输。

当$m+2\le r\le 2m$时，甲可以取$r-(m+1)$个，使得无论如何乙取走后剩余个数不超过$m$个，甲胜。

根据上述过程，不难发现要想自己赢必须尽可能保证对方拿到$m+1$个。若甲获胜则需满足$n\%(m+1)\ne 0$。

也就是说，如果乙后手获胜需要满足$n$是$m+1$的倍数。

算法模板

bool Bash(int n,int m){//这里返回的是先手玩家是否可以获胜
	if(n%(m+1)) return true;
	else return false;
}

例题

hdu1846

大概概括一下，就是有$T$组样例，每组一个$n$和$m$表示含义见本文开头，输出第一个人先手时哪个人能获胜，输出获胜的人(first or second)。

#include <iostream>
using namespace std;
bool Bash(int n,int m){
	if(n%(m+1)) return true;
	else return false;
}
int main(){
	int T,n,m;
	cin>>T;
	while(T--){
		cin>>n>>m;
		if(Bash(n,m)) cout<<"first\n";
		else cout<<"second\n";
	}
	return 0;
}

推广

如果规定先取完的人输，那么需要重新考虑策略。

当$r\le m+1$时，则甲可以只留$1$个给乙，甲胜。

当$r=m+2$时，无论甲取多少，乙都能只留一个给甲，甲输。

当$m+3\le r \le 2m+2$时，甲取$r-(m+2)$个，乙从剩下的$m+2$取必输。

当$r=2m+3$时，甲输。

总结规律可知$(n-1)\%(m+1)\ne 0$时甲胜，否则乙胜。

算法模板

bool Bash(int n,int m){//这里返回的是先手玩家是否可以获胜
	if((n-1)%(m+1)) return true;
	else return flase;
}