计算组合数的 C++ 代码实现(3 种计算类型)
最编程
2024-04-08 17:09:41
...
题目:
输入两个非负整数n和m,返回组合数\(C^m_n\)。例如当n = 10, m = 2时,答案为45。
组合与排列
先从排列数开始说起,排列数是指从n个不同的元素中任意取出m(\(m \leq n\))个元素的所有不同排列的个数。
由定义可知,排列数的公式为:\(A^m_n = n * (n - 1) * ... * (n - m - 1) = \frac{n!}{(n - m)!}\)
组合数和排列数的区别在于组合数与元素的顺序无关,排列数与元素的顺序有关。
可以得到组合数的公式为:\(C^m_n = \frac{A^m_n}{A^m_m} = \frac{n!}{m!(n - m)!}\)
三种计算方式:
1. 通过定义式直接计算
先计算 \(n!\),然后分别计算\(m!\)和\((n - m)!\),然后在进行相除即可。计算量较大,容易溢出。
/***
* Author : DL1024
* Date : 2022-11-11
* ***/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
ll Combination(ll n, ll m){
ll res = 1;
for (ll i = 1; i <= n; ++i) res *= i;
for (ll i = 1; i <= m; ++i) res /= i;
for (ll i = 1; i <= n - m; ++i) res /= i;
return res;
}
int main( ){
int m = 5, n = 10;
cout << Combination(n, m) << endl;
return 0;
}
2. 通过递推公式计算
利用公式 $$C^m_n = C^m_{n-1} + C^{m-1}_{n-1}$$ 进行计算;
/***
* Author : DL1024
* Date : 2022-11-11
* ***/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
ll Combination(ll n, ll m){
if (m == 0 || m == n) return 1;
return Combination(n - 1, m) + Combination(n - 1, m - 1);
}
ll res[67][67] = {0}; // 备忘录改进
ll Combination1(ll n, ll m){
if (m == 0 || m == n) return 1;
if (res[n][m] != 0) return res[n][m];
return res[n][m] = Combination(n - 1, m) + Combination(n - 1, m - 1);
}
int main( ){
int m = 5, n = 10;
cout << Combination(n, m) << endl;
return 0;
}
3. 分母上下同时进行处理
/***
* Author : DL1024
* Date : 2022-11-11
* ***/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
ll Combination(ll n, ll m){
ll res = 1;
for (ll i = 1; i <= m; ++i){
res = res * (n - m + i) / i; // 先乘后除
}
return res;
}
int main( ){
int m = 5, n = 10;
cout << Combination(n, m) << endl;
return 0;
}
原文地址:https://www.cnblogs.com/DL1024/p/16881791.html
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windows下进程间通信的(13种方法)-摘 要 本文讨论了进程间通信与应用程序间通信的含义及相应的实现技术,并对这些技术的原理、特性等进行了深入的分析和比较。 ---- 关键词 信号 管道 消息队列 共享存储段 信号灯 远程过程调用 Socket套接字 MQSeries 1 引言 ---- 进程间通信的主要目的是实现同一计算机系统内部的相互协作的进程之间的数据共享与信息交换,由于这些进程处于同一软件和硬件环境下,利用操作系统提供的的编程接口,用户可以方便地在程序中实现这种通信;应用程序间通信的主要目的是实现不同计算机系统中的相互协作的应用程序之间的数据共享与信息交换,由于应用程序分别运行在不同计算机系统中,它们之间要通过网络之间的协议才能实现数据共享与信息交换。进程间通信和应用程序间通信及相应的实现技术有许多相同之处,也各有自己的特色。即使是同一类型的通信也有多种的实现方法,以适应不同情况的需要。 ---- 为了充分认识和掌握这两种通信及相应的实现技术,本文将就以下几个方面对这两种通信进行深入的讨论:问题的由来、解决问题的策略和方法、每种方法的工作原理和实现、每种实现方法的特点和适用的范围等。 2 进程间的通信及其实现技术 ---- 用户提交给计算机的任务最终都是通过一个个的进程来完成的。在一组并发进程中的任何两个进程之间,如果都不存在公共变量,则称该组进程为不相交的。在不相交的进程组中,每个进程都独立于其它进程,它的运行环境与顺序程序一样,而且它的运行环境也不为别的进程所改变。运行的结果是确定的,不会发生与时间相关的错误。 ---- 但是,在实际中,并发进程的各个进程之间并不是完全互相独立的,它们之间往往存在着相互制约的关系。进程之间的相互制约关系表现为两种方式: ---- (1) 间接相互制约:共享CPU ---- (2) 直接相互制约:竞争和协作 ---- 竞争——进程对共享资源的竞争。为保证进程互斥地访问共享资源,各进程必须互斥地进入各自的临界段。 ---- 协作——进程之间交换数据。为完成一个共同任务而同时运行的一组进程称为同组进程,它们之间必须交换数据,以达到协作完成任务的目的,交换数据可以通知对方可以做某事或者委托对方做某事。 ---- 共享CPU问题由操作系统的进程调度来实现,进程间的竞争和协作由进程间的通信来完成。进程间的通信一般由操作系统提供编程接口,由程序员在程序中实现。UNIX在这个方面可以说最具特色,它提供了一整套进程间的数据共享与信息交换的处理方法——进程通信机制(IPC)。因此,我们就以UNIX为例来分析进程间通信的各种实现技术。 ---- 在UNIX中,文件(File)、信号(Signal)、无名管道(Unnamed Pipes)、有名管道(FIFOs)是传统IPC功能;新的IPC功能包括消息队列(Message queues)、共享存储段(Shared memory segment)和信号灯(Semapores)。 ---- (1) 信号 ---- 信号机制是UNIX为进程中断处理而设置的。它只是一组预定义的值,因此不能用于信息交换,仅用于进程中断控制。例如在发生浮点错、非法内存访问、执行无效指令、某些按键(如ctrl-c、del等)等都会产生一个信号,操作系统就会调用有关的系统调用或用户定义的处理过程来处理。 ---- 信号处理的系统调用是signal,调用形式是: ---- signal(signalno,action) ---- 其中,signalno是规定信号编号的值,action指明当特定的信号发生时所执行的动作。 ---- (2) 无名管道和有名管道 ---- 无名管道实际上是内存中的一个临时存储区,它由系统安全控制,并且独立于创建它的进程的内存区。管道对数据采用先进先出方式管理,并严格按顺序操作,例如不能对管道进行搜索,管道中的信息只能读一次。 ---- 无名管道只能用于两个相互协作的进程之间的通信,并且访问无名管道的进程必须有共同的祖先。 ---- 系统提供了许多标准管道库函数,如: pipe——打开一个可以读写的管道; close——关闭相应的管道; read——从管道中读取字符; write——向管道中写入字符; ---- 有名管道的操作和无名管道类似,不同的地方在于使用有名管道的进程不需要具有共同的祖先,其它进程,只要知道该管道的名字,就可以访问它。管道非常适合进程之间快速交换信息。 ---- (3) 消息队列(MQ) ---- 消息队列是内存中独立于生成它的进程的一段存储区,一旦创建消息队列,任何进程,只要具有正确的的访问权限,都可以访问消息队列,消息队列非常适合于在进程间交换短信息。 ---- 消息队列的每条消息由类型编号来分类,这样接收进程可以选择读取特定的消息类型——这一点与管道不同。消息队列在创建后将一直存在,直到使用msgctl系统调用或iqcrm -q命令删除它为止。 ---- 系统提供了许多有关创建、使用和管理消息队列的系统调用,如: ---- int msgget(key,flag)——创建一个具有flag权限的MQ及其相应的结构,并返回一个唯一的正整数msqid(MQ的标识符); ---- int msgsnd(msqid,msgp,msgsz,msgtyp,flag)——向队列中发送信息; ---- int msgrcv(msqid,cmd,buf)——从队列中接收信息; ---- int msgctl(msqid,cmd,buf)——对MQ的控制操作; ---- (4) 共享存储段(SM) ---- 共享存储段是主存的一部分,它由一个或多个独立的进程共享。各进程的数据段与共享存储段相关联,对每个进程来说,共享存储段有不同的虚拟地址。系统提供的有关SM的系统调用有: ---- int shmget(key,size,flag)——创建大小为size的SM段,其相应的数据结构名为key,并返回共享内存区的标识符shmid; ---- char shmat(shmid,address,flag)——将当前进程数据段的地址赋给shmget所返回的名为shmid的SM段; ---- int shmdr(address)——从进程地址空间删除SM段; ---- int shmctl (shmid,cmd,buf)——对SM的控制操作; ---- SM的大小只受主存限制,SM段的访问及进程间的信息交换可以通过同步读写来完成。同步通常由信号灯来实现。SM非常适合进程之间大量数据的共享。 ---- (5) 信号灯 ---- 在UNIX中,信号灯是一组进程共享的数据结构,当几个进程竞争同一资源时(文件、共享内存或消息队列等),它们的操作便由信号灯来同步,以防止互相干扰。 ---- 信号灯保证了某一时刻只有一个进程访问某一临界资源,所有请求该资源的其它进程都将被挂起,一旦该资源得到释放,系统才允许其它进程访问该资源。信号灯通常配对使用,以便实现资源的加锁和解锁。 ---- 进程间通信的实现技术的特点是:操作系统提供实现机制和编程接口,由用户在程序中实现,保证进程间可以进行快速的信息交换和大量数据的共享。但是,上述方式主要适合在同一台计算机系统内部的进程之间的通信。 3 应用程序间的通信及其实现技术 ---- 同进程之间的相互制约一样,不同的应用程序之间也存在竞争和协作的关系。UNIX操作系统也提供一些可用于应用程序之间实现数据共享与信息交换的编程接口,程序员可以通过自己编程来实现。如远程过程调用和基于TCP/IP协议的套接字(Socket)编程。但是,相对普通程序员来说,它们涉及的技术比较深,编程也比较复杂,实现起来困难较大。 ---- 于是,一种新的技术应运而生——通过将有关通信的细节完全掩盖在某个独立软件内部,即底层的通讯工作和相应的维护管理工作由该软件内部来实现,用户只需要将通信任务提交给该软件去完成,而不必理会它的具体工作过程——这就是所谓的中间件技术。 ---- 我们在这里分别讨论这三种常用的应用程序间通信的实现技术——远程过程调用、会话编程技术和MQSeries消息队列技术。其中远程过程调用和会话编程属于比较低级的方式,程序员参与的程度较深,而MQSeries消息队列则属于比较高级的方式,即中间件方式,程序员参与的程度较浅。 ---- 4.1 远程过程调用(RPC)
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数的机器码表示:原码、反码、补码、变形补码、移码和浮点数编码-数学定义:例:+111的原码为0111,-101的原码为1101 (2) 纯小数的原码表示 纯小数的原码首位同样为符号位,后面的数值则表示小数的尾数,纯小数的整数位为默认为0无需表示。 例:+0.111的原码为0111,-0.101的原码为1101 可以看到,+111和+0.111的原码同为0111,这是因为约定的小数点位置不同,整数的原码的小数点约定在末尾,纯小数的原码的小数点约定在数值的最前面,这样通过约定小数点的位置来表示数的方法就称为定点数表示法,约定小数点位置实际上就是约定编码中每一位的权重。 二、反码 正数的反码与其原码相同。 负数的反码是其对应原码的符号位不变,数值位按位取反。 数学定义:例: 真值 +111 -101 +0.111 -0.101 原码 0111 1101 0111 1101 反码 0111 1010 0111 1010 三、补码 原码虽然转换很简单,但是在做减法时操作很复杂(减不够还要借位),因此计算机在做加负数操作时会先将负数的原码转换为补码再做加法。 先举个栗子,假设时钟现在是9点钟,我把时针往回拨3个小时是6点钟,或者顺时针往后拨9个小时还是6点钟,也就是说9-3的结果等同于9+9(mod 12),对于模数12,-3的补码为+9,这就引申出了一种将减法转换为加法的思想,把减去一个正数视为加上一个负数(例如9+(-3)),再将负数转换为对应的补码,最后就可以和补码做加法了,若结果超出了模数则丢弃一个模数即可。 如图所示:9减去灰色的部分(-3)就等同于加上蓝色的部分,即-3的补码即为蓝色部分的长度9(mod 12)。即补码=模数+真值(超出模数则舍弃一个模数) (1) 整数的补码表示 对于一个n位的二进制真值x,则取模数为2^(n+1),若x为正数则补码和原码相同(加上一个模数又需舍弃一个模数 故相同),若为负数则补码为模数加上x。相对于原码,补码这里的首位就不仅代表原数真值的符号了,也是补码自己的一个数值位。 取模数为2^(n+1)是因为在需要舍弃模数时只需要舍弃运算结果(二进制数)的最高位即可,这在计算机中很容易实现 数学定义:例:三位二进制数的模数2^4就是10000,故+111的补码为0111(即10000 + 111 = 0111 (舍弃模数位)),-101的补码为1011(即10000 - 101 = 1011) 补码运算示例:那么+111 - 101 = +111 + (-101) = 0111 + 1011 = 10010,运算结果只保留后四位(即舍弃模数位),故计算结果为0010。这样就通过加法实现了减法运算。 补码可表示数据范围:由数学定义可知,n位二进制补码可表示的数据范围为 -2n-1~2n-1-1。以8位的byte类型数为例,可表示的数据范围为 -27~27-1,即-128至+127,最小负数-128(补码:1000 0000),最大负数-1(补码:1111 1111),0(补码:0000 0000),最小正数1(补码:0000 0001),最大正数127(补码:0111 1111)。 由补码求真值:正数的补码即为原码即为真值,负数的真值由计算规则可知 负数真值= - (模数 - 补码),以补码1111 1111为例,其真值 = - (1 0000 0000 - 1111 1111) = - 0000 0001 = -1 (2) 纯小数的补码表示 对于一个纯小数x,则取模数为2^1,正数的补码和原码相同,负数的补码为模数2加上x。同样补码的首位不仅代表原数真值的符号,也是补码的数值位。 数学定义:例:纯小数的模数2就是10,故+0.111的补码为0111,-0.101的补码为1011(小数点约定在符号位后) 计算机中求补码的规则 可以注意到求负数的补码时还是要做减法,这在计算机中就很不方便了,但是通过其数学定义可以看到无论是整数还是纯小数,负数的补码都等于反码的末尾加1,而这又等同于原码数值位从右向左遇到第一个1后,这个1左边的数值位都按位取反,故实际计算机中求补码的规则如下:正数的补码等于原码负数的补码等于原码的数值位从右向左的第一个1左边的所有数值位按位取反(例:byte类型值-6的原码为1000 0110,则其补码为1111 1010) 四、变形补码 两个补码在运算时可能会溢出从而产生错误的结果,比如0111+0101 = 1100,两个正数相加反而得到了一个负数,那么在计算机中要如何判断运算结果是否溢出了呢,这就引申出了变形补码。从直观上看,相对于补码来说变形补码就是用两位来表示符号位,00表示正数,11表示负数。运算结果符号位为01表示正溢出,10表示负溢出。