求高数极限的几种方法

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1. 代入法, 分母极限不为零时使用.先考察分母的极限,分母极限是不为零的常数时即用此法.

【例1】lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)

lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)

=(3-3)/(9+3+1)=0

【例2】lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx

lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx

=(lg1+e^0)/arccos0

=(0+1)/1

=1

2. 倒数法,分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时使用.

【例3】 lim[x-->1]x/(1-x)

∵lim[x-->1] (1-x)/x=0 ∴lim[x-->1] x/(1-x)= ∞

以后凡遇分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时,可直接将其极限写作∞.

3. 消去零因子（分解因式）法,分母极限为零,分子极限也为零,且可分解因式时使用.

【例4】 lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)

lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)

=lim[x-->1](x-1)^2/[x(x^2-1)

=lim[x-->1](x-1)/x

=0

【例5】lim[x-->-2](x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)

lim[x-->-2] (x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)

= lim[x-->-2]x(x+1)(x+2)/[(x+2)(x-3)]

= lim[x-->-2]x(x+1) / (x-3)

=-2/5

【例6】lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)

lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)

= lim[x-->1](x-2)(x-4)/[(x-1)(x-4)]

= lim[x-->1](x-2) /[(x-1)

=∞

【例7】lim[h-->0][(x+k)^3-x^3]/h

lim[h-->0][(x+h)^3-x^3]/h

= lim[h-->0][(x+h) –x][(x+h)^2+x(x+h)+h^2]/h

= lim[h-->0] [(x+h)^2+x(x+h)+h^2]

=2x^2

这实际上是为将来的求导数做准备.

4. 消去零因子（有理化）法,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,但可有理化时使用.可利用平方差、立方差、立方和进行有理化.

【例8】lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x

lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x

= lim[x-->0][√1+x^2]-1] [√1+x^2]+1]/｛x[√1+x^2]+1]｝

= lim[x-->0][ 1+x^2-1] /｛x[√1+x^2]+1]｝

= lim[x-->0] x / [√1+x^2]+1]

=0

【例9】lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))

lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))

=lim[x-->-8][√(1-x)-3] [√(1-x)+3] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]

÷{(2+x^(1/3))[4-2x^(1/3)+x^(2/3)] [√(1-x)+3]}

=lim[x-->-8](-x-8) [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/{(x+8)[√(1-x)+3]}

=lim[x-->-8] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/[√(1-x)+3]

=-2

5. 零因子替换法.利用第一个重要极限：lim[x-->0]sinx/x=1,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,不可有理化,但出现或可化为sinx/x时使用.常配合利用三角函数公式.

【例10】lim[x-->0]sinax/sinbx

lim[x-->0]sinax/sinbx

= lim[x-->0]sinax/(ax)*lim[x-->0]bx/sinbx*lim[x-->0]ax/(bx)

=1*1*a/b=a/b

【例11】lim[x-->0]sinax/tanbx

lim[x-->0]sinax/tanbx

= lim[x-->0]sinax/ sinbx*lim[x-->0]cosbx

=a/b

6. 无穷转换法,分母、分子出现无穷大时使用,常常借用无穷大和无穷小的性质.

【例12】lim[x-->∞]sinx/x

∵x-->∞ ∴1/x是无穷小量

∵|sinx|∞]sinx/x=0

【例13】lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)

lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)

= lim[x-->∞](1 -1/x^2)/(2-1/x-1/ x^2)

=1/2

【例14】lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)

lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)

=lim[n-->∞][n( n+1)/2]/(2n^2-n-1)

=lim[n-->∞][ (1+1/n)/2]/(2-1/n-1/n^2)

=1/4

【例15】lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50

lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50

= lim[x-->∞][(2x-3)/ (5x+1)]^20[(3x+2)/ (5x+1)]^30

= lim[x-->∞][(2-3/x)/ (5+1/ x)]^20[(3+2/ x)/ (5+1/ x)]^30

=(2/5)^20(3/5)^30=2^20*3^30/5^50