如何理解泊松分布（泊松分布）

本文将介绍泊松分布的基本概念、推导、应用，以及泊松定理，附有几道练习题，希望帮助大家掌握泊松分布

泊松分布(Poisson Distribution)

【泊松分布是以其发表者Poisson命名的】
随机变量X服从参数为λ的泊松分布，记作
$$X\sim \pi (\lambda )$$
其分布律为
P { X = k } = λ k e − λ k ! , k = 0 , 1 , 2 , … P\{X=k\}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, k=0,1,2,… P{X=k}=k!λke−λ​,k=0,1,2,…
其中λ>0
注意k取值哟，k是从0到∞！！

证明分布律

对于上式，我们需要证明其满足分布律的条件，即各值概率求和为1, 即： ∑ k = 0 ∞ P { X = k } = 1 \sum_{k=0}^{\infty}P\{X=k\}=1 k=0∑∞​P{X=k}=1
证明如下：
∑ k = 0 ∞ P { X = k } = ∑ k = 0 ∞ λ k e − λ k ! = e − λ ∑ k = 0 ∞ λ k k ! = e − λ × e λ = 1 \sum_{k=0}^{\infty}P\{X=k\}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\times e^{\lambda}=1 k=0∑∞​P{X=k}=k=0∑∞​k!λke−λ​=e−λk=0∑∞​k!λk​=e−λ×eλ=1

这个求和用到了函数f(x)=e^x的带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式
哈哈，其实这里只是推导一下就好，更严谨，以后使用公式时候用不到

泊松定理

这是一种用泊松分布逼近二项分布的定理，可以看作泊松分布分布律从二项分布律的推导，具体内容如下：

n为任意正整数，np=λ，λ>0,对任意非负整数k，都有
$$\underset{x\to \infty }{\lim }{C}_n^k{p}_n^k(1-p{)}^{n-k}=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$$
证明思路：
让式子只剩下λ，消去n，p
1.消去n：使n趋近于∞
2.消去p：p=λ/n

证明如下：
$$C_n^k{p}_n^k(1-p{)}^{n-k}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}{(\frac{\lambda }{n})}^k(1-\frac{\lambda }{n}{)}^{n-k}$$
观察右项，尽量配出来

$$原式=\frac{{\lambda }^k}{k!}[1\times (1-\frac{1}{n})\times \dots \times (1-\frac{k-1}{n})](1-\frac{\lambda }{n}{)}^n(1-\frac{\lambda }{n}{)}^{-k}$$
令n趋近于正无穷，则
$$[1\times (1-\frac{1}{n})\times \dots \times (1-\frac{k-1}{n})]\to 1$$
$$(1-\frac{\lambda }{n}{)}^n\to e^{-\lambda }$$
上式为对自然常数e的定义的代换，实质上用到了复合函数的极限运算法则
$$(1-\frac{\lambda }{n}{)}^{-k}\to 1$$
因此，得证
$$\underset{x\to \infty }{\lim }{C}_n^k{p}_n^k$$