地下宫殿的宝藏（蓝桥问题）

描述

X国王有一个地宫宝库。是n x m个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。

地宫的入口在左上角，出口在右下角。

小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。

请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。

输入

输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)

接下来有n行数据，每行有m个整数Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值

输出

要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对1000000007取模的结果。

输入样例 1 

2 2 2
1 2
2 1

 输出样例 1

2

思路

动态规划，思维dp，f[i][j][t][p]存储从起点走到(i,j)点，已经拿到t个物品，且最大值为p的方案集合，存储性质为方案的个数（闫氏dp分析）

写出状态转移方程（分两种情况，一种是不取C[i][j]这个物品，另一种是取了，前提为p==C[i][j]）

f[i][j][t][p]=f[i-1][j][t][p]+f[i][j-1][t][p]

f[i][j][t][p]+=f[i-1][j][t-1][1]+......f[i-1][j][t-1][p-1]   +f[i][j-1][t-1][1]+......f[i][j-1][t-1][p-1]

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
using ll = long long;
const int M=15;
int n,m,k;
int C[51][51]={0};
int f[51][51][15][15];
//所有从起点走到(i,j)点，已经拿到t个宝物，且最大值为p的方案集合
int main()
{
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {//这里对物品价值设置一个偏移量，因为题目设定物品价值可能为0
            cin>>C[i][j];C[i][j]++;
        }//设置偏移量后，价值为0代表分界点
    }
    f[1][1][0][0]=1;
    f[1][1][1][C[1][1]]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int t=0;t<=k;t++)
            for(int p=0;p<M;p++)
            {
                //不拿物品
                f[i][j][t][p]=(f[i][j][t][p]+f[i-1][j][t][p])%MOD;
                f[i][j][t][p]=(f[i][j][t][p]+f[i][j-1][t][p])%MOD;
                //可以拿物品
                if(t>0&&C[i][j]==p)
                {
                    for(int s=0;s<p;s++)
                    {
                        f[i][j][t][p]=(f[i][j][t][p]+f[i-1][j][t-1][s])%MOD;
                        f[i][j][t][p]=(f[i][j][t][p]+f[i][j-1][t-1][s])%MOD;
                    }
                }
            }
    int res=0;
    for(int p=1;p<M;p++)
    {
        res=(res+f[n][m][k][p])%MOD;
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}