托里切利小号悖论

托里拆利小号悖论

如果我告诉你，有一个小号，它的体积有限，但表面积无限大，你会相信吗？

也许你不相信，但的确由这样的小号。意大利数学家托里拆利将$y=\frac{1}{x}$中$x\ge 1$的部分绕$x$轴旋转一圈，得到了下面这个小号状的旋转体。这个小号的体积有限，但表面积无限大。

我们来计算一下。

通过定积分求旋转体的体积的知识，可得

$V=\pi {\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^2}dx=\pi \cdot (-\frac{1}{x}){|}_1^{+\infty }=\pi$

通过定积分求旋转曲面的面积的知识，可得

$S=2\pi {\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x}\sqrt{1+(-\frac{1}{x^2}{)}^2}dx=2\pi {\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}dx$

$=2\pi {\int }_1^{+\infty }\frac{\sqrt{x^4+1}}{x^3}dx$

因为$\frac{\sqrt{x^4+1}}{x^3}\ge \frac{\sqrt{x^4}}{x^3}=\frac{1}{x}$，所以

$S=2\pi {\int }_1^{+\infty }\frac{\sqrt{x^4+1}}{x^3}dx\ge 2\pi {\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x}dx=2\pi (\ln x){|}_1^{+\infty }=+\infty$

由此可得，托里拆利小号的体积有限，表面积无限大。