线性代数（精装版）
最编程
2024-07-03 12:52:57
...
正定二次型
（1）惯性定理
设二次型\(f=x^TAx\)，它的秩为\(r\)，有两个可逆变换\(x=Cy\)及\(x=Pz\)，使\(f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+\cdots+k_ry_r^2 (k_i \neq 0)\)，\(f=\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2+\cdots+\lambda_rz_r^2 (\lambda_i \neq 0)\)，则\(k_1,\cdots,k_r\)中正数的个数与\(\lambda_1,\cdots,\lambda_r\)中正数的个数相等，此个数称为正惯性指数，相应的有负惯性指数
（2）正定二次型
设有二次型\(f(x)=x^TAx\)，如果对任何\(x \neq 0\)，都有\(f(x) \gt 0\)，则称\(f\)为正定二次型，并称对称阵\(A\)是正定的，如果对任何\(x \neq 0\)，都有\(f(x) \lt 0\)，则称\(f\)为负定二次型，并称对称阵\(A\)是负定的
（3）正定的充分必要条件
\(n\)元二次型\(f=x^TAx\)为正定的充分必要条件是：它的标准形的\(n\)个系数全为正，即他的规范形的\(n\)个系数全为\(1\)，亦即他的正惯性指数等于\(n\)
对称阵\(A\)为正定的充分必要条件是：\(A\)的特征值全为正
（4）正定的必要条件
主对角线元素\(a_{ii}>0\)，矩阵的行列式\(|A| \gt 0\)
（5）赫尔维茨定理
对称阵\(A\)为正定的充分必要条件是：\(A\)的各阶主子式都为正，即
\[a_{11} \gt 0,
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{vmatrix} \gt 0,
\cdots,
\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn} \\
\end{vmatrix} \gt 0
\]
对称阵\(A\)为负定的充分必要条件是：\(A\)的奇数阶主子式都为负，偶数阶主子式都为正，即
\[(-1)^r\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1r} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{rr} \\
\end{vmatrix} \gt 0 (r=1,2,\cdots,n)
\]