线性代数杂谈 (1) - 基本矩阵
不知道看了我前面几篇关于线性代数的博文的小伙伴们,有没有吸收内化掉这些知识。
最近我在学矩阵LU分解的时候,回头看前面的知识,又有了更深的理解,就在这篇文章里分享一点。
矩阵中行和列的差别
这个应该是矩阵中最关键的问题之一,我认为想通这个问题后你对矩阵的理解肯定会进一步加深。
行与列的差别告诉我们 矩阵 AB 不等于 BA,告诉我们矩阵乘法分为左乘和右乘等等等等。
我的理解,这来自矩阵如何定义的:(这仅是为了方便你理解矩阵行与列之间的差异)
x
+
2
y
+
z
x +2y+z
x+2y+z
3
x
+
8
y
+
z
3x+8y+z
3x+8y+z
4
y
+
z
4y+z
4y+z
这样的三个式子可以写成如下矩阵:
1 2 1 3 8 1 0 4 2 \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \end{matrix} 130284112
当然还应该乘以一个 [x,y,z] 向量,这里为了方便理解暂且忽略。
从这两者的变换可以看到,行向量是一个式子x,y,z的系数组合,图像可以当成直线。
而列向量是三个式子的x的系数,并不协同构造一条直线,图像可以看成一个向量。
不知道你是否能get到以上文字的点,如果有一点点,就可以接着往下看了,不需深究。如果没有,那也请接着往下看,因为以上文字仅为方便理解而写,没什么实际意义,经不起推敲。
矩阵乘法本质上是矩阵行或列的线性组合
这点虽然在前面的博文提到过,但是我觉得还是可以展开讲讲。
左乘
左乘是拆分左侧矩阵成为一个个行向量,拆分出来的行向量用以描述结果矩阵是右侧矩阵的行的何种线性组合。
示例:
[ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] [ 1 2 1 3 8 1 0 4 2 ] = [ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 2 ] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 2 \end{matrix} \right] 1−30010001 130284112 = 1002241−22
结果矩阵第一行可以看成:
[ 1 0 0 ] [ 1 2 1 3 8 1 0 4 2 ] = [ 1 2 1 ] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right] [100] 130284112 =[121]
左侧拆分出来的行向量表示结果矩阵的第一行为右侧矩阵的一个第一行组成,零个第二行和第三行的线性组合。
第二行可以看成:
[ − 3 1 0 ] [ 1 2 1 3 8 1 0 4 2 ] = [ 1 2 1 ] \left[ \begin{matrix} -3 & 1 & 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right] [−310] 130284112 =[121]
左侧拆分出来的行向量表示结果矩阵的第二行为右侧矩阵的负三个第一行,一个第二行和零个第三行组成的线性组合。
相信大家看了前两行是什么样子,第三行如何计算也就自然而然了。
右乘
示例:
[ 1 2 1 3 8 1 0 4 2 ] [ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] = 130284112 1−30010001 =
右乘是拆分右侧矩阵成为一个个列向量,拆分出来的列向量用以描述结果矩阵是左侧矩阵的列的何种线性组合。
结果向量第一列可以用如下方法得出:
[ 1 2 1 3 8 1 0 4 2 ] [ 1 − 3 0 ] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{matrix} \right] 130284112 1−30
即为左侧矩阵的一个第一列,负三个第二列,零个第三列的线性组合。
总结
相信看到这里如果你对线性代数的理解又加深了,那么也就达到了本篇文章的目的。
最后再写一个关于线性代数很有意思的例子,不知道你有没有想到。
[ 1
上一篇: 查看 ----IP 交流流程
下一篇: 前端框架比较与选择
推荐阅读
-
线性代数杂谈 (1) - 基本矩阵
-
[线性代数] 矩阵的四个基本子空间 - 左零空间
-
包婷婷 (201550484)作业一 统计软件简介与数据操作-SPSS(Statistical Product and Service Solutions),"统计产品与服务解决方案"软件。最初软件全称为"(SolutionsStatistical Package for the Social Sciences),但是随着SPSS产品服务领域的扩大和服务深度的增加,SPSS公司已于2000年正式将英文全称更改为"统计产品与服务解决方案",标志着SPSS的战略方向正在做出重大调整。为IBM公司推出的一系列用于统计学分析运算、数据挖掘、预测分析和决策支持任务的软件产品及相关服务的总称SPSS,有Windows和Mac OS X等版本。 1984年SPSS总部首先推出了世界上第一个统计分析软件微机版本SPSS/PC+,开创了SPSS微机系列产品的开发方向,极大地扩充了它的应用范围,并使其能很快地应用于自然科学、技术科学、社会科学的各个领域。世界上许多有影响的报刊杂志纷纷就SPSS的自动统计绘图、数据的深入分析、使用方便、功能齐全等方面给予了高度的评价。 R统计软件介绍 R是一套完整的数据处理、计算和制图软件系统。其功能包括:数据存储和处理系统;数组运算工具(其向量、矩阵运算方面功能尤其强大);完整连贯的统计分析工具;优秀的统计制图功能;简便而强大的编程语言:可操纵数据的输入和输出,可实现分支、循环,用户可自定义功能。 与其说R是一种统计软件,还不如说R是一种数学计算的环境,因为R并不是仅仅提供若干统计程序、使用者只需指定数据库和若干参数便可进行一个统计分析。R的思想是:它可以提供一些集成的统计工具,但更大量的是它提供各种数学计算、统计计算的函数,从而使使用者能灵活机动的进行数据分析,甚至创造出符合需要的新的统计计算方法。 该语言的语法表面上类似 C,但在语义上是函数设计语言(functional programming language)的变种并且和Lisp 以及 APL有很强的兼容性。特别的是,它允许在"语言上计算"(computing on the language)。这使得它可以把表达式作为函数的输入参数,而这种做法对统计模拟和绘图非常有用。 R是一个免费的*软件,它有UNIX、LINUX、MacOS和WINDOWS版本,都是可以免费下载和使用的。在R主页那儿可以下载到R的安装程序、各种外挂程序和文档。在R的安装程序中只包含了8个基础模块,其他外在模块可以通过CRAN获得。 二、R语言 R是用于统计分析、绘图的语言和操作环境。R是属于GNU系统的一个*、免费、源代码开放的软件,它是一个用于统计计算和统计制图的优秀工具。 R作为一种统计分析软件,是集统计分析与图形显示于一体的。它可以运行于UNIX,Windows和Macintosh的操作系统上,而且嵌入了一个非常方便实用的帮助系统,相比于其他统计分析软件,R还有以下特点: 1.R是*软件。这意味着它是完全免费,开放源代码的。可以在它的网站及其镜像中下载任何有关的安装程序、源代码、程序包及其源代码、文档资料。标准的安装文件身自身就带有许多模块和内嵌统计函数,安装好后可以直接实现许多常用的统计功能。[2] 2.R是一种可编程的语言。作为一个开放的统计编程环境,语法通俗易懂,很容易学会和掌握语言的语法。而且学会之后,我们可以编制自己的函数来扩展现有的语言。这也就是为什么它的更新速度比一般统计软件,如,SPSS,SAS等快得多。大多数最新的统计方法和技术都可以在R中直接得到。[2] 3. 所有R的函数和数据集是保存在程序包里面的。只有当一个包被载入时,它的内容才可以被访问。一些常用、基本的程序包已经被收入了标准安装文件中,随着新的统计分析方法的出现,标准安装文件中所包含的程序包也随着版本的更新而不断变化。在另外版安装文件中,已经包含的程序包有:base一R的基础模块、mle一极大似然估计模块、ts一时间序列分析模块、mva一多元统计分析模块、survival一生存分析模块等等.[2] 4.R具有很强的互动性。除了图形输出是在另外的窗口处,它的输入输出窗口都是在同一个窗口进行的,输入语法中如果出现错误会马上在窗口口中得到提示,对以前输入过的命令有记忆功能,可以随时再现、编辑修改以满足用户的需要。输出的图形可以直接保存为JPG,BMP,PNG等图片格式,还可以直接保存为PDF文件。另外,和其他编程语言和数据库之间有很好的接口。[2] 5.如果加入R的帮助邮件列表一,每天都可能会收到几十份关于R的邮件资讯。可以和全球一流的统计计算方面的专家讨论各种问题,可以说是全世界最大、最前沿的统计学家思维的聚集地.[2] R是基于S语言的一个GNU项目,所以也可以当作S语言的一种实现,通常用S语言编写的代码都可以不作修改的在R环境下运行。 R的语法是来自Scheme。R的使用与S-PLUS有很多类似之处,这两种语言有一定的兼容性。S-PLUS的使用手册,只要稍加修改就可作为R的使用手册。所以有人说:R,是S-PLUS的一个“克隆”。 但是请不要忘了:R是免费的(R is free)。R语言源代码托管在github,具体地址可以看参考资料。[3] 。 R语言的下载可以通过CRAN的镜像来查找。 R语言有域名为.cn的下载地址,有六个,其中两个由Datagurn,由 中国科学技术大学提供的。R语言Windows版,其中由两个下载地点是Datagurn和 USTC提供的。 三、stata Stata 是一套提供其使用者数据分析、数据管理以及绘制专业图表的完整及整合性统计软件。它提供许许多多功能,包含线性混合模型、均衡重复反复及多项式普罗比模式。用Stata绘制的统计图形相当精美。 新版本的STATA采用最具亲和力的窗口接口,使用者自行建立程序时,软件能提供具有直接命令式的语法。Stata提供完整的使用手册,包含统计样本建立、解释、模型与语法、文献等超过一万余页的出版品。 除此之外,Stata软件可以透过网络实时更新每天的最新功能,更可以得知世界各地的使用者对于STATA公司提出的问题与解决之道。使用者也可以透过Stata. Journal获得许许多多的相关讯息以及书籍介绍等。另外一个获取庞大资源的管道就是Statalist,它是一个独立的listserver,每月交替提供使用者超过1000个讯息以及50个程序。 四、PYTHON
-
线性代数笔记 1 - 矩阵的基本运算
-
线性代数学习笔记 (IX) - 矩阵运算 (I) - 1 矩阵的加法和减法
-
矩阵核心 SVD - 来自奇异值分解的四个基本子空间-1 值域空间
-
[线性代数:基本矩阵运算
-
线性代数的学习和整理1:用EXCEL进行基础的矩阵计算
-
线性代数之——线性变换及对应矩阵-1. 线性变换的概念