有符号数的三种表示：原码、反码与补码

一、计算机中的二进制数表示

（一）数的表示方法

1、定点数

• 定点数包括定点整数与定点小数
• 采用定点数的缺点
  ① 编程时需要确定小数点位置
  ② 难以表示两个大小相差较大的数
  ③ 存储空间利用率低

2、浮点数

（1）浮点数概念

• 小数点的位置可以左右移动的数

（2）规格化浮点数

• 尾数部分用纯小数表示，即小数点右边第1位不为0
  

（二）数的性质

1、无符号数

• 数中所有的0和1都是数据本身
• 各种编码多视为无符号数

2、有符号数

• 需用0或1表示数的性质（整数）
• 数值多视为有符号数

3、数的性质由设计者决定

• 在低级语言程序设计中，根据数的性质由程序语言处理（按无符号数或有符号数处理）。

二、无符号数

（一）无符号数的加法

• 0 + 0 = 0，0 + 1 = 1 ，1 + 0 = 1， 1 + 1 = 0（有进位）

（二）无符号数的减法

• 0 - 0 = 0，0 - 1 = 1（有借位） 1 - 0 = 1，1 - 1 = 0

（三）无符号数的乘法

• 0 × 0 = 0　0 × 1 = 0，1 × 0 = 0，1 × 1 = 1

（四）无符号数的除法

• 0 ÷ 0 = 0，0 ÷ 1 = 0，1 ÷ 0 = 0 （无意义），1 ÷ 1 = 1

（五）乘除法案例演示

• 乘法：00001011 × 0100 = 00101100B
• 除法：00001011 ÷ 0100 = 00000010B
  – 商 = 00000010B
  – 余数 = 11B
• 每乘以2，相对于被乘数向左移动1位
• 每除以2，相对于被除数向右移动1位

三、有符号数

（一）概念

• 用最高位表示符号，其余是数值
• 0：表示正数
• 1：表示负数

（二）表示方法

1、原码

（1）概念

• 最高位为符号位，其余为真值部分
• [ X ] 原 = 符 号 位 + ∣ 绝 对 值 ∣ [X]_原=符号位+|绝对值| [X]原​=符号位+∣绝对值∣

（2）优点

• 真值和其原码表示之间的对应关系简单，容易理解

（3）缺点

• 计算机中用原码进行加减运算比较困难
• 0的表示不唯一

（4）数0的原码

8位数0的原码：

• + 0 = 0 0000000 +0 = \colorbox{Yellow}00000000 +0=0​0000000
• − 0 = 1 0000000 -0 = \colorbox{Yellow}10000000 −0=1​0000000

由此可见，数0的原码不唯一。

2、反码

（1）概念

对一个机器数X：

• 若 X > 0 X>0 X>0 ，则 [ X ] 反 = [ X ] 原 [X]_反=[X]_原 [X]反​=[X]原​
• 若 X < 0 X<0 X<0， 则 [ X ] 反 = 对 应 原 码 的 符 号 位 不 变 ， 数 值 部 分 按 位 求 反 [X]_反=对应原码的符号位不变，数值部分按位求反 [X]反​=对应原码的符号位不变，数值部分按位求反

（2）案例

例1、-52的反码

X = − 52 = − 0110100 X = -52 = -0110100 X=−52=−0110100

• [ X ] 原 = 1 0110100 [X]_原=\colorbox{yellow}10110100 [X]原​=1​0110100
• [ X ] 反 = 1 1001011 [X]_反=\colorbox{yellow}11001011 [X]反​=1​1001011

例2、0的反码

• [ + 0 ] 反 = [ + 0 ] 原 = 0 0000000 [+0]_反= [+0]_原= \colorbox{yellow}00000000 [+0]反​=[+0]原​=0​0000000
• [ − 0 ] 原 = 1 0000000 [-0]_原= \colorbox{yellow}10000000 [−0]原​=1​0000000
• [ − 0 ] 反 = 1 1111111 [-0]_反 = \colorbox{yellow}11111111 [−0]反​=1​1111111

由此可见，数0的反码也不是唯一的。

3、补码

（1）概念

对于机器数X：

• 若 X > 0 ， 则 [ X ] 补 = [ X ] 反 = [ X ] 原 若X>0， 则[X]_补= [X]_反= [X]_原 若X>0，则[X]补​=[X]反​=[X]原​
• 若 X < 0 ， 则 [ X ] 补 = [ X ] 反 + 1 若X<0， 则[X]_补= [X]_反+1 若X<0，则[X]补​=[X]反​+1

（2）案例

例1、-52的补码

X = – 52 = – 0110100 X= – 52= – 0110100 X=–52=–0110100

• [ X ] 原 = 1 0110100 [X]_原=\colorbox{yellow}10110100 [X]原​=1​0110100
• [ X ] 反 = 1 1001011 [X]_反=\colorbox{yellow}11001011 [X]反​=1​1001011
• [ X ] 补 = [ X ] 反 + 1 = 1 1001100 [X]_补= [X]_反+1=\colorbox{yellow}11001100 [X]补​=[X]反​+1=1​1001100

例2、0的补码

• [ + 0 ] 补 = [ + 0 ] 原 = 0 0000000 [+0]_补= [+0]_原=\colorbox{yellow}00000000 [+0]补​=[+0]原​=0​0000000
• [ − 0 ] 补 = [ − 0 ] 反 + 1 = 1 1111111 + 1 = 1 0 0000000 = 0 0000000 [-0]补= [-0]_反+1=\colorbox{yellow}11111111+1 =\colorbox{red}1\colorbox{yellow}00000000=\colorbox{yellow}00000000 [−0]补=[−0]反​+1=1​1111111+1=1​0​0000000=0​0000000
• 说明：对8位字长，进位（红色1）被舍掉

例3、钟表案例 - 将指针从5点拨到1点

两钟拨法：

• 逆时钟拨： 5 − 4 = 1 5 - 4 = 1 5−4=1
• 顺时钟拨： 5 + 8 = 13 = 12 + 1 = 1 5 + 8 = 13= \colorbox{red}{12} + 1 = 1 5+8=13=12​+1=1 （ 12 12 12为模，自动丢失）

对模12，减法变加法

• [ − 4 ] 补 = 12 − 4 = 8 [-4]_补=12-4=8 [−4]补​=12−4=8 （ 8 8 8为 − 4 -4 −4的补数）
• 5 − 4 = 5 + 8 5-4=5+8 5−4=5+8
• 5 − 4 = 5 + ( − 4 ) = 5 + ( 12 − 4 ) = 5 + 8 = 12 + 1 = 1 5-4=5+(-4)=5+(12-4)=5+8=\colorbox{red}{12} +1=1 5−4=5+(−4)=5+(12−4)=5+8=12​+1=1

（3）补码的算术运算

通过引进补码，可将减法运算转换为加法运算。

• [ X + Y ] 补 = [ X ] 补 + [ Y ] 补 [X+Y]_补=[X]_补+[Y]_补 [X+Y]补​=[X]补​+[Y]补​
• [ X − Y ] 补 = [ X + ( − Y ) ] 补 = [ X ] 补 + [ − Y ] 补 [X-Y]_补=[X+(-Y)]_补 =[X]_补+[-Y]_补 [X−Y]补​=[X+(−Y)]补​=[X]补​+[−Y]补​

例1、计算66-51

66 − 51 = 66 + ( − 51 ) = 15 66-51=66+(-51)=15 66−51=66+(−51)=15
用二进制补码运算：

• [ + 66 ] 补 = [ + 66 ] 原 = 0 1000010 [+66]_补= [+66]_原= \colorbox{yellow}01000010 [+66]补​=[+66]原​=0​1000010
• [ − 51 ] 原 = 1 0110011 [-51]_原=\colorbox{yellow}10110011 [−51]原​=1​0110011
• [ − 51 ] 补 = 1 1001101 [-51]_补=\colorbox{yellow}11001101 [−51]补​=1​1001101
• [ 66 − 51 ] 补 = [ + 66 ] 补 + [ − 51 ] 补 = 1 0 0001111 = 0 0001111 = 15 [66-51]_补=[+66]补+ [-51]补= \colorbox{red}1\colorbox{yellow}00001111=\colorbox{yellow}00001111=15 [66−51]补​=[+66]补+[−51]补=1​0​0001111=0​0001111=15

例2、X = -52 = -0110100，Y = 116 = +1110100，求X + Y的值

• [ X ] 原 = 1 0110100 [X]_原=\colorbox{yellow}10110100 [X]原​=1​0110100
• [ X ] 补 = [ X ] 反 + 1 = 1 1001100 [X]_补= [X]_反+1=\colorbox{yellow}11001100 [X]补​=[X]反​+1=1​1001100
• [ Y ] 补 = [ Y ] 原 = 0 1110100 [Y]_补= [Y]_原=\colorbox{yellow}01110100 [Y]补​=[Y]原​=0​1110100
• [ X + Y ] 补 = [ X ] 补 + [ Y ] 补 = 1 1001100 + 0 1110100 = 0 1000000 [X+Y]_补= [X]_补+ [Y]_补=\colorbox{yellow}11001100+\colorbox{yellow}01110100=\colorbox{yellow}01000000 [X+Y]补​=[X]

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