[数学 II] 单变量函数的导数 - 导数的计算 - 分段函数的导数，关于导数的重要结论

考试要求

1、理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系.
2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.
3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.
4、会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.
5、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理.
6、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.
7、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法, 掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.
8、会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间(a.b)内,设函数$f(x)$具有二阶导数当$f^{{}^{\prime \prime }}(x)>0$时，$f(x)$的图形是凹的;当 $f^{{}^{\prime \prime }}(x)>0$时,$f(X)$的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形.
9、了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.

导数的计算

分段函数求导数

分段函数求导数一般按如下步骤：
1、对于定义域内每个分段区间内的函数按常规求导法则求出导数（不含分段点）
2、对于每个分段点处的导数，要按导数定义或左、右导数定义进行计算，从而判断函数在分段点处是否可导及导数值
3、写出最后的导数结果

练习1：设$f(x)=\{\begin{array}{l}x-1,x\le 0\\ \\ 2x^2-1,0<x\le 1\\ \\ 4x-3,x>0\end{array}$ ，求$f^{{}^{\prime }}(x)$

知识点:
1、定理 函数$f(x)$在点$x_0$处可导的充要条件是左右导数存在且相等，即$$f^{{}^{\prime }}(x_0)\iff （f_{+}^{{}^{\prime }}(x_0)=f_{-}^{{}^{\prime }}(x_0)$$

解：$$\begin{gathered} f^{{}^{\prime }}(x)=\{\begin{array}{l}1\\ \\ 4x\\ \\ 4\end{array} \\ 分段点为x=0,1 \\ {f}^{{}^{\prime }}(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\Rightarrow f_{-}^{{}^{\prime }}(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x-1-(-1)}{x-0}=1,f_{+}^{{}^{\prime }}(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{2x^2-1-(-1)}{x-0}=0 \\ {f}^{{}^{\prime }}(1)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-0}\Rightarrow f_{-}^{{}^{\prime }}(1)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim } \end{gathered}$$