最长共同子序列代码

问题分析：

最长公共子序列指的是，给定两个字符串，我们需要找出它们都包含的最长子序列。这个子序列不要求是连续的，但它的字符顺序必须保持一致。

算法步骤：

1. 定义状态（DP 表）：

   • 我们使用一个二维数组 dp 来存储状态，其中 dp[i][j] 表示字符串 text1 的前 i 个字符和字符串 text2 的前 j 个字符的最长公共子序列的长度。

2. 状态转移方程：

   • 如果 text1[i-1] == text2[j-1]，即当前两个字符相等，那么 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。这是因为当前的两个字符都可以加入公共子序列中，因此子序列长度加 1。
   • 如果 text1[i-1] != text2[j-1]，即当前字符不相等，那么 dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。这是因为我们需要从两个选择中取最大值：要么不考虑 text1[i-1]，要么不考虑 text2[j-1]，来找到更长的子序列。

3. 初始状态：

   • dp[0][*] 和 dp[*][0] 的值均为 0，因为如果任意一个字符串的长度为 0，那么最长公共子序列的长度也必然为 0。

4. 最终结果：

   • 当我们遍历完所有的字符后，dp[m][n] （其中 m 和 n 分别是 text1 和 text2 的长度）就会存储两个字符串的最长公共子序列的长度。

时间复杂度和空间复杂度：

• 时间复杂度：O(m * n)，其中 m 和 n 分别是字符串 text1 和 text2 的长度。我们需要遍历 m * n 个状态来填充 dp 表。
• 空间复杂度：O(m * n)，用于存储 dp 表格。

示例解释：

对于输入 text1 = "abcde" 和 text2 = "ace"，通过动态规划构造 dp 表后，结果为 3，表示它们的最长公共子序列为 "ace"。

总结起来，这个算法通过构建一个二维数组，逐个字符进行比较，逐步累积最长的公共子序列的长度，从而得到最终的解。

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int m = text1.length();
        int n = text2.length();
        //dp[i][j] 的含义是字符串 text1 的前 i 个字符与字符串 text2 的前 j 个字符之间的最长公共子序列长度
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        //更新dp
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) {
                    //text1 的前 i-1 个字符与字符串 text2 的前 j-1 个字符的LCS + 1
                    //是text1 的前 i 个字符与字符串 text2 的前 j 个字符的LCS
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    //text1 的前 i 个字符与字符串 text2 的前 j 个字符的LCS
 //从text1 的前 i-1 个字符与字符串 text2 的前 j 个字符的LCS和text1 的前 i 个字符与字符串 text2 的前 j-1 个字符的LCS
 //选择更大者
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}