使用C#实现的三次样条曲线插值的基本原理解析

声明：本人空间的所有文章，若无特别声明，皆为本人原创，可*转载，但要注明原作者和原始出处，不可作为商业用途。

 

下面的内容是直接从Word文档复制粘贴出来的，有很多内容丢失，完整的PDF版本可到百度网盘下载：

链接：https://pan.baidu.com/s/1aEc0htnERV3I75hLq4fFsA 密码：wf6t

 

 

三次样条曲线插值的基本原理及其C#实现

 作  者:  simxpert

2018.5.14

 

作者简介：

本人长期从事结构强度仿真计算方面的学习和工作，可以为您解决各种结构强度仿真分析以及专业计算软件定制方面的工作。

扫描二维码可添加本人微信：

目    录
1.    简介    1
2.    三次样条插值的基本数学原理    1
2.1.    插值的问题的提出    1
2.2.    插值函数的待定系数变量和约束方程    2
2.3.    插值函数的最终表达式    3
2.4.    添加边界条件求解mi    3
2.5.    根据插值函数进行插值计算    4
3.    三次样条插值函数的C#实现    4
4.    SPLine类的使用方法    6
5.    附录1-SPLine类的源代码    7
6.    附录2-Chase类的源代码    11
 
三次样条曲线插值的数学原理及其C#实现
作者: simxpert
简介
在工程实践中经常会用到插值，最简单的插值是在相邻的两个样本点之间线性插值，有时候希望精度高一点，一般都会用三次样条曲线插值。
本文先从理论上讲解三次样条插值的数学原理，然后讲解使用C#实现三次样条插值算法的基本过程，最后以实例对算法进行验证。
三次样条插值的基本数学原理
本文并不打算详细讲解完整的三次样条曲线的推导过程，只是梳理一下三次样条曲线差值的大概的脉络，详细的推导过程可以参考随意一本数值计算教程。
    插值的问题的提出
在给定的区间[a,b]上有N个点，已知其横坐标为：a=x0<x1<……<xn-1<xn=b，对应纵坐标为：y0,y1,……yn-1,yn。
这N个点的每两个相邻点xi,xi+1构成一个子区间[xi,xi+1]，[a,b]之间共计有n个子区间：[x0,x1],…,[xn-1,xn] 。(N=n+1)
问题：根据上述已知条件，任意给定一个在xt，xt∈[a,b]，如何近似求得一个合理的yt值？
一个最简单易行的办法就是线性插值：在每个子区间[xi,xi+1]中，把两个端点用直线连接起来，可以由这段直线的方程Si(x)来求这个子区间上任意一点的纵坐标值。我们只需要确定给定的点xt落在哪个子区间就可以了。
线性插值的缺点很明显：首先是精度低。其次，整个曲线不光滑。因为在整个区间的插值函数S(x)是由多段的直线Si(x)连接而成，在每个拐点处连接是不平滑，从数学上看也就是在拐点处的一阶导数不连续，更别提二阶段导数的连续性了。
    插值函数的待定系数变量和约束方程
为了得到精度比较高而且过渡比较平滑的曲线，最常见的就是使用三次样条插值。如果我们把前面讲的子区间的线性函数提升为3次多项式：
         (1)
为了保证曲线的连续性和光滑性，必须要对每个区间的插值函数提出一些要求，这些要求包括：
1).连续性。除了两个边界节点外，任意一个节点xi同时属于[xi-1,xi]和[xi,xi+1]这两个相邻的子区间。我们必须要保证在用这两个区间上的插值函数计算出来的xi的纵坐标值相等，而且要等于已知的yi值。即：
    Si-1(xi)=Si(xi)=yi,i=1,2,…,n-1。    (2)
式(2)包含了2n-2个方程，再加两个边界点上S0(x0)=y0,Sn-1(xn)=yn，共计得到2n个方程。
2).一阶导数和二阶导数连续。这个约束条件是为了保证插值函数的曲线足够的光滑。除了两头的节点外，任意一个中间节点的一阶导数和二阶导数必须连续。即：
     ,i=1,2,…,n-1    (3)
     ,i=1,2,…,n-1    (4)
式(3),(4)可以得到2n-2个方程。
由于上述约束条件总计可以得到4n-2个方程。从(1)式可以看出，每个插值函数有4个未知的待定系数，[a,b]区间内有n个子区间，故一共有4n个未知待定系数。未知的变量的数目比约束方程的数目多2，也就是说我们还缺少两个约束条件。
缺少的这两个约束条件可以由边界条件来指定。也就是在两个边界点上各施加一个边界条件。边界条件是是人为指定的，常见的边界条件有4种，这个我们在后面会提到。
    插值函数的最终表达式
根据前面的论述，我们只要求出每个子区间的插值函数的4个系数a0, a1, a2,a3就能完全确定这n个插值函数。但是实际中，为了数学推导的方便，我们并不会直接求出这4个变量，而是采取了间接的表达方式来描述每个插值函数。
不同的推导方法，得到的表达形式也各不相同，常见的有三转角法，三弯矩法，B样条基函数法等方法。本文并不打算进行详细的推导。因为没必要，任何一本数值计算的书上都可以找到非常详细的。在这里我直接给出推导结果:
     (5)
其中 。