数学分析基础课第二章：绝对值与不等式的探讨
绝对值与不等式
实数a的绝对值定义为
|a|=a a>=0
|a|=-a a<0
从数轴上看，数a的绝对值|a|就是a到原点的距离。
实数绝对值的性质
实数的绝对值有如下一些性质：
1、|a|=|-a|>=0；当且仅当a=0时有|a|=0
2、-|a|<=a<=|a|
3、|a|<h---- -h<a<h;
|a|<=h---- -h<=a<=h(h>0)
4、对于任何a,b属于实数，有如下的三角形不等式；
|a|-|b|<=|a+-b|<=|a|+|b|
5、|ab|=|a||b|
证明
红
白
蓝
下面只证明性质4，其余性质由读者自行证明
由性质2有-|a|<=a<=|a|,-|b|<=b<=|b|
两式相加后得到-（-|a|+|b|)<=a+b<=|a|+|b|.
根据性质3，上式等价于|a+b|<=|a|+|b| (1)
将（1）式中b换成-b,(1)式右边不变，即得|a-b|<=|a|+|b|.这就证明了性质4不等式的右半部分。又由|a|=|a-b+b|,根据（1）式有|a|<=|a-b|+|b|.
从而得|a|-|b|<=|a-b|
将（2）式中b换成-b，即得|a|-|b|<=|a+b|。性质4得证
解法思路
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良
绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：（1）绝对值定义法；
（2）平方法；
（3）零点区域法。
例题
-
｜x+1｜+｜x-2｜<a
设S＝｜x+1｜+｜x-2｜则S表示数轴上的一个点到-1和2的距离之和；S<a表示距离之和小于a先讨论S的取值：只有当这个点位于(-1)和2之间时距离最小，S＝2-(-1)=3；当这个点位于(-1)和2两侧时，S>3的！故S>=3S<a为空，故一定是a<=3
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｜x-1｜-｜x+1｜>a
S＝｜x-1｜-｜x+1｜>a表示数轴上到1和(-1)两点距离之差大于a其中-1到1的距离为2S的取值由点的位置决定：(1)点位于1的右侧时，此点到1的距离近，到-1的距离远，差为-2(2)点位于-1的左侧时，此点到-1的距离近，到1的距离远，差为2(3)点位于-1到1之间(含重合)，此点到-1和1之间的距离在-2到2之间变化。故-2<=S<=2现要使S>a恒成立，而S最小为-2,最大为2，故a应不超过S的最小值，即a<-2(a≠2,由于a=2时，得S>2，此时不能满足一切实数)
课后题：|x2-9|-3<x
课后题在下一篇会有答案哦，可以先评论在下方
上次课后题：设a,b属于实数，若任意m>0,都有|a-b|<m,则a=b。
答案：假设a不等于b,取&=|a-b|>0与|a-b|<|a-b|矛盾。