搞定高等代数中的矩阵难题:矩阵方程和求逆,包括分块矩阵的求逆和伴随
最编程
2024-02-13 20:42:19
...
矩阵
矩阵方程与求逆
(南昌大学,2022)已知矩阵 ,且 ,求 .
solution
首先注意到
所以 可逆,且 ,那么结合已知就有 ,两边左乘 可得
于是 .而对 进行初等行变换,有
这说明
(福州大学,2022)设 为 阶实方阵,且 ,证明: .
proof
由于 ,所以
这说明 与 互为逆,进而
化简可得 ,所以 .
(太原理工大学,2022)设矩阵
- 在实数域上求方程 的通解;
- 判断矩阵 是否可逆? 若可逆,求其逆矩阵.其中 是 3 级单位矩阵.
solution
- 将增广矩阵 进行初等行变换化为阶梯形,有
那么若 满足 ,根据上述阶梯形可得
即
其中 为*末知量. - 由于
所以 可逆,现在对 进行初等行变换,有
由此可知
(郑州大学,2022)设 是 阶整数方阵(即每一个元素都是整数),试叙述 是可逆的且其逆 也是整数方阵的充分必要条件,并给出证明.
proof
是可逆的且其逆也是整数方阵的充分必要条件为 .
必要性.由于 与 均为整数方阵,所以 与 均为整数,而 ,所以 整除 1 ,于 是 .
充分性.若 ,则 可逆,且 ,而 为整数方阵,所以 也为整数方阵,进而 依旧为整数方阵.
note
基础回顾,对于矩阵方程
- 如果可逆,那么.并且对 进行一系列初等行变换等价于边乘可逆矩阵 ,即 ,如果 ,则 ,所以 .也就是说: 对 进行一系列初等行变换,如果 的位置变成了 ,则 的位置就一定变成了 ,这就是求 的简便算法.
- 如果不可逆,可以设 ,那么 就等价于 ,这是所有系数矩阵都为 的 个非齐次线性方程组.同时可以发现,矩阵方程 有解等价于 的列向量均可由 的列向量组线性表出,也就是 .
分块矩阵求逆或伴随
(西南财经大学,2022)设矩阵 ,且矩阵 满足 ,求 .
solution
首先记 ,显然 可逆,且
另外,由于 ,所以 ,即 也可逆,那么对 两边左乘 可得
(云南大学,2022)设 为 阶方阵,满足 ,记 ,求 .
solution
首先注意到
同时
将上述两式合起来,便有
上式两端取逆可得
(北京师范大学,2022)解答如下问题:
- 设 均是可逆矩阵,求分块矩阵 的逆矩阵;
- 设 均是方阵,求分块对角矩阵 的伴随矩阵 .
solution
- 由于
上式两端取逆可得
- 当 均可逆时,由 可知 可逆,且
于是
当 或 不可逆时,显然存在实数 ,使得 时, 均可逆,记
根据上述结论,当 时,有
由于上式两端矩阵的所有元素均为 的多项式,在 时,相同位置元素相等,那么根据多项式的性质,对 任意的 ,相同位置元素相等,即上式对任意的 成立,特别地,取 ,就有
note
- 对于二阶矩阵 ,其伴随矩阵为
那么当 A 可逆时,有
- 如果可逆矩阵 满足 那么 进而
- 对任意的方阵 ,存在实数 ,使得 时, 为可逆矩阵,这可以通过特征值进行说明.而这种给 加上 使得其可逆的方法称为摄动法,在处理伴随矩阵问题时经常使用此方法.
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