[数学 - 高级代数] 第 2 讲 单变量多项式

一、一元多项式定义

Part1

一、一元多项式的定义
1.定义

设x是一个符号(或称文字)n是一个非负整数,形式表达式a_x+an-1x+…+ax+a0，其中a,a1,…an∈P,称为数域P上的一元多项式。常用f(x),g(x),h(x)，表示。

注:多项式f(x)=anx+an-1x+…+a1x+a0中,
①aixi称为i次项,ai称为i次项系数.
②若an≠0,，则称anxn为f(x)的首项，an为
系数,n称为多项式f(x)的次数,记作(f(x)=n.
③若a=a1=…=an=0,即f(x)=0,则称之为零多项式.零多项式不定义次数.

区别:零多项式f(x)=0。

零次多项式f(x)=a,a≠0,f(x)的次数为0.

2.多项式的相等
若多项式f(x)与g(x)的同次项系数全相等,则
称f(x)与g(x)相等，
f(x)=anx+an-1xn-+…+a1x+a0
 g(x)=bmx+bn-1x+.+bx+b0,
f(x)=g(x)      m=n,ai=bi,i=0,1,2,…;n.

3、多项式的运算

4、多项式运算性质

1)f(x)g(x)为数域P上任意两个多项式,则
f(x)±g(x),f(x)g(x)仍为数域P上的多项式

2)vf(x),g(x)∈P[x],f(x)±g(x)≠0
①a(f(x)±g(x)≤max(a(f(x),0g(x)
②若f(x)≠0,g(x)≠0,则f(x)g(x)≠0,
 a(f(x)g(x))=a(f(x))+a(9(x)
f(x)g(x)的首项系数
=f(x)的首项系数×g(x)的首项系数

3)运算律
 f(x)+g(x)=g(x)+f(x)
(f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x)
 f(x)g(x)=g(x)f(x)
 (f(x)g(x))h(x)=f(x)(9(x)h(x))
 f(x)(9(x)+h(x))=f(x)9(x)+f(x)h(x)
 f(x)9(x)=f(x)h(x), f(x)+0= g(x)=h(x)

未

完

待

续

例1设f(x),g(x),h(x)∈R(x)
(1)证明:若f(x)=xg2(x)+xh2(x),则 f(x)=g(x)=h(x)=0
(2)在复数域上(1)是否成立?

证: ​(1)若f(x)≠0,则
x(g2(x)+h2(x)=f2(x)≠0,
从而g2(x)+h2(x)≠0.于是
a(xg2(x)+xh2(x)=0(x(g2(x)+h2(x))为奇数.
但∂(f2(x)为偶数.∴x(g2(x)+h2(x)≠f2(x)
这与已知矛盾.故f(x)=0,
从而g2(x)+h2(x)=0.

又f(x),g(x)
均为实系数多项式,
从而必有g(x)=h(x)=0.
∴f(x)=g(x)=h(x)=0.
(2)在C上不成立.

二、多项式环

定义所有数域P中的一元多项式的全体称为数域P上的一元多项式环,记作Px]
P称为Px]的系数域。

课后题：

1.f(x)=x-2x+5.g(x)=x2-x+2,用g(x)除f(x),则商q(x)与余式r(x)次数分别是
2.f(x)=2x-5x3-8x,g(x)=x+3,用g(x)除f(x),则商与余式次数是                                                   

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编辑人：summer

审核人：水亦心，章泽琼