不败小姐的数学建模 - 简介

最近，西安大唐不夜城“不倒翁”女孩街头表演的视频走红网络。在大唐不夜城步行街，“不倒翁”小姐姐身姿轻盈眼神妩媚令人梦回大唐，一颦一笑将中国唐朝美人的妩媚娇羞演绎得淋漓尽致。

图 1. 小姐姐成名作：把手给我图 2. 是不是也被这小眼神迷倒了

这勾人的小眼神，大模头看了觉得画面太美还能看 100 遍。尽管很美，但其实小姐姐表演得很辛苦。别只看到小姐姐在演出时体态轻盈、游刃有余，这背后的苦功夫她可是下足了。

图 3. 带 T 型架的半球底座，重达 250 公斤^[1]

大唐不夜城的真人不倒翁的演员都是经过层层选拔的，女性演员身高要在 163 厘米左右，体重不超过 50 公斤。扮演不倒翁的演员冯佳晨^[2]，今年 23岁，身高 163 厘米，体重 45 公斤。虽有近10年的舞蹈功底，但这个表演刚开始的时候对她来说真的不容易。因表演需要将下半身完全固定在如图 3 所示的铁架子上，仅靠腰部发力运作不倒翁的底座，冯佳晨每天表演完胯和膝盖都会被磨青^[3]。

不倒翁，是一种最常见的玩具。通常形状像一个蛋型、上轻而下重，扳倒后还能自动竖立起来。历史最早记载唐代的捕醉仙^[4]就是一种不倒翁。不倒翁不倒的原理并不难以理解：上轻下重的物体比较稳定，重心越低越稳定。当不倒翁在竖立状态处于平衡时，重心和接触点的距离最小，即重心最低。偏离平衡位置后，重心总是升高的。因此，这种状态的平衡是稳定平衡。所以不倒翁无论如何摇摆，总是不倒的。

图 4. 不倒翁原理。左：不倒翁在竖立时重心最低；右：不倒翁偏离平衡位置后重心升高

但不倒翁究竟是如何运动的呢？小姐姐又是如何操控不倒翁，让其*的摇摆呢？ 本文将建立不倒翁小姐姐的数学模型，研究不倒翁的运动方程，并通过计算给出小姐姐摇晃的最佳策略。