数值分析之插值
最编程
2024-06-30 13:42:43
...
插值
一.基本概念
1.1插值需要研究的问题
- 插值函数是否存在?
- 如何构造插值函数?
- 如何评估误差?
1.2插值法定义
- 设函数y=f(x)在区间[a,b]有定义,且已知上值,若存在一简单函数P(x),使得
成立,就称P(x)为f(x)的插值函数,点称为插值节点,包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间,求插值区间函数P(x)的方法称为插值法。若P(x)是次数不超过n的代数多项式,即,称P(x)为插值多项式。
二.多项式插值
-
定理:设区间[a,b]上给定n+1个点上的函数值,这样次数不超过n的多项式,使是唯一的。
三.拉格朗日插值
成立,就称P(x)为f(x)的插值函数,点称为插值节点,包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间,求插值区间函数P(x)的方法称为插值法。若P(x)是次数不超过n的代数多项式,即,称P(x)为插值多项式。
使用解线性方程组的方法求解插值多项式,计算量大,造成的误差也不易估算,因此我们一般采取其他方法来构造插值多项式
3.1线性插值与抛物线插值
-
线性插值(两点插值):
给定两个区间及端点函数值,求线性插值多项式,满足:
其集合意义就是过着两个点的直线。可以通过直线表达式给出:
两点式
设
其中
可将两点式表示为 -
抛物线插值(三点插值):
略
3.2拉格朗日插值多项式
将以上两个点或是三个点的情况扩展到有n+1个点,设有n+1个节点,,构造n次插值多项式满足条件。
-
n次插值基函数:若n次多项式,在n+1个节点上满足条件就称这为n+1个n次多项式为节点的n次插值基函数。可以表示为
-
拉格朗日插值多项式:
可以表示为,
若将记
则(关于x求导)
所以可以将拉格朗日插值多项式改写为:
注:n次插值多项式的次数通常为n次,特殊情况下也可以小于n次,如三点抛物线插值三点在同一条直线上时。
3.3插值余项与误差估算
定义:若在[a,b]上用近似f(x),则其截断误差
称为插值多项式的余项。-
定理:设在[a,b]上连续,在[a,b]内存在,节点,是满足上述条件的插值多项式,则对任意的,
这里且依赖于。-
证明:(罗尔中值定理)
-
证明:(罗尔中值定理)
四.均差及牛顿插值多项式
五.埃尔米特插值
六.分段低次插值
七.三次样条插值
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