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程序员数学》学习笔记 3.线性代数 (1)

最编程 2024-07-03 12:56:09
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第二章

基本概念

(零空间)核空间KerA

对于给定的A,在映射的作用下,满足Ax = o的集合称为A的核(kernel)。对于“非压缩扁平化”的映射A,KerA是0维的,由原点O一个点构成

像ImA

对于给的的A,将x进行各种不同的变换,在A的作用下,y=Ax构成的集合,称为A的像(image)

单射、满射、双射

这里要引入一个问题:

对于方程y = Ax

  1. 对于相同的结果y,引起它的原因唯一吗x
  2. 无论什么样的结果y,都可以找到导致它的相应原因x吗?

满足条件1的映射就叫单射;满足条件2的映射叫满射;条件1、2都满足的叫双射(也叫一一映射)

长矩阵、矮矩阵、方阵(奇异矩阵、非奇异矩阵)

对于y=Ax,A的规模为m x n:

  • 当m > n 时, A称为长矩阵;
  • 当m < n 时,A称为矮矩阵;
  • 当m = n,即x,y同维时,称为方阵;
  • 如果方阵不存在可逆阵,称A为奇异矩阵,否则称之为非奇异矩阵。

定义与定理

初等变换

对(A|y)的矩阵进行如下操作:

  • 某行乘c
  • 某行的c倍加到另一行上
  • 交换两行

以上过程都可以左乘单位阵表示,这些操作称为初等(行)变换

维数定理

对于m x n的矩阵A,有:

dim KerA + dim ImgA = n

直观上理解:A是从n维空间到m维空间的映射,从原来的n维中,压缩掉KerA对应的维数,剩下的就是的ImA维数。

线性子空间

对于线性空间V,若V内的区域W满足以下条件,则称W是V的线性子空间

  • 对于W中的向量xx',他们的和x+x'也在内
  • 对于W中的向量xc,数量积cx也在W

秩的提出是为了解决“目标空间全体是否能够被全部覆盖到”,具体问题就是:ImA是否覆盖了空间全体,这个问题涉及的就是ImA的维数,也就是秩rank。 即:dim ImA = rank A

线性方程组求解

第四章

特征值与特征向量

定义

Ap = tp,其中 p \not=o,A是方阵(A的列数=p的行数=A的行数)

从几何角度分析,特征向量就是在空间在线性变换后仍没有偏离原来方向的向量。长度可能会有伸缩。长度变化的倍率就是特征值。例如当空间发生旋转,可以不用分析线性变换矩阵,只要找到矩阵对应的特征向量就可以了,空间肯定是围绕特征向量旋转的。

性质

  1. 对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵的对角元素就是特征值
  2. 实矩阵的特征值和特征向量也可能是复数
  3. n阶方阵的特征值,在包含重根的情况下有n个
  4. A有特征值0,等价于A是奇异矩阵(压缩扁平化);没有特征值0,等价于A非奇异
  5. 行列式等于特征值的乘积
  6. 不相同的特征对应的特征向量线性无关;特征值相同(重根)特征向量也可能线性无关;
  7. 方阵A的特征多项式的常数项a0=detA
  8. A的迹等于对角元素的和。 9

应用

判断系统是否失控

如果特征值的绝对值均小于等于1,则没有失控的风险;否则有可能会失控。

对角化

选择合适的可逆矩阵p,使得p-1Ap是对角矩阵,这个操作就称之为对角化。

为何要对角化

方法

  1. 求A的特征值λ1,... λn及其对应的特征向量p1,...pn
  2. 把特征向量排列起来就是P,P = (p1,...pn)

Jordan标准型

对于不能对角化的方阵A,可以通过变换得到与对角矩阵很接近的形式——Jordan标准型(分块对角矩阵),形式如下:

性质

  • 对角元素就是特征值
  • 对角上有几个相同的特征值,对应的就是几重根
  • 对角元素是的Jordan块有几个,对应的线性无关的特征向量就有几个
  • 若特征值不存在重根,则矩阵可对角化(此时Jordan型就是对角矩阵了)

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