理解马尔萨斯人口增长理论与Logistic模型
3.要求与任务
从 1790 — 1990 年间美国每隔 10 年的人口记录如下表所示:
用以上数据检验马尔萨斯 ( Malthus)人口指数增长模型,根据检验结果进一步讨论马尔萨斯
人口模型的改进,并利用至少两种模型来预测美国2010 年的人口数量。
提示 1 : Malthus 模型的基本假设是:人口的增长率为常数,记为 r 。记时刻 t的人口为
x ( t )(即 x ( t )为模型的状态变量),且初始时刻的人口为 ,于是得到如下微分方程:
提示 2 :阻滞增长模型(或 Logistic 模型) 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,
人口增长到一定数量后,增长率会下降,假设 人口的增长率为x 的减函数,如设 r(x)=r(1-x/xm) ,
其中 r 为固有增长率 (x 很小时 ) ,xm为人口容量(资源、环境能容纳的最大数量), 于是得到
如下微分方程:
4、代码及结果
方法一:马尔萨斯 ( Malthus)人口指数增长模型
代码:
t = [1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990];
p = [3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4];
y = log(p); %求ln(p)函数值
a = polyfit(t,y,1) %用一次多项式对t和y进行拟合
z = polyval(a,t); %求得以a为系数的多项式在t处的函数值
z1 = exp(z)
r = a(1)
plot(t,p,'bo',t,z1,'r') %分别画出散点图以及拟合曲线图
xlabel('时间');
ylabel('人口数量');
legend('实际数据','理论曲线');
结论:随着时间的增加,人口按指数规律无限增长。可以进行短期的人口预测,较为符合
但是之后误差就很大了。
误差分析:询美国人口统计图表得出2000年为282.162、2010年人口为309.322、2020年人口
为329.484,发现两者有一定区别,因为预测中无法考虑到未来可能发生的各种变化因素。实际上
随着人口数量的增加,自然资源、环境因素, 人口政策,年龄和性别结构、地域特征等因素对人
口数量的阻滞作用越来越明显。
方法二:Logistic模型
通过求解差分方程的方式得到每个时刻的人口增长率,并将其归一化。接着使用线性回归的方法拟合出人口增长率与人口数量之间的关系,并推导出了一个基于人口增长率的指数模型,用于预测未来的人口数量。
代码:
clc
clear
close all
x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4];%人口
n=length(x);
t=0:1:n-1;
rk=zeros(1,n);
rk(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3))/2;
rk(n)=(x(n-2)-4*x(n-1)+3*x(n))/2;
for i=2:n-1
rk(i)=(x(i+1)-x(i-1))/2;
end
rk=rk./x;
p=polyfit(x,rk,1);
b=p(2);
a=p(1);
r0=b;
xm=-r0/a;
%输出
pnum=zeros(n,1);
for i=0:1:n-1
pnum(i+1)=xm/(1+(xm/x(1)-1)*exp(-r0*i));
end
year1=[1790 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2021];
plot(year1,pnum,'r--o',year1,x,'k-*')
xlabel('年份')
ylabel('人口数量/万人')
legend('预测人口数量','实际人口数量')
figure(2)
fnum=zeros(n+14,1);
for i=0:1:n+13
fnum(i+1)=xm/(1+(xm/x(1)-1)*exp(-r0*i));
end
year2=[1790 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030 2031 2032 2033 2034 2035];
plot(year2,fnum,'r--o')
xlabel('年份')
ylabel('人口数量/万人')
legend('预测人口数量')
结论:当t=2000 时人口为295.769、t=2010时人口为315.909、t=2020时人口为333.962。
误差分析:查询美国人口统计图表得出2000年为282.162、2010年人口为309.322、2020年人口
为329.484,发现两者几乎一致,Logistic模型的缺点是模型中的参数r和人口总数上限xm很难准确得
到,尤其是xm的值还会随着人口发展变化的情况而改变。实际上随着人口数量的增加,自然资源、环境因素, 人口政策,
年龄和性别结构、地域特征等因素对人口 数量的阻滞作用越来越明显,增长率不应取为常数。
方法三:多项式拟合
在代码中,使用了polyfit函数拟合5阶多项式,将拟合结果和原始数据一起绘制出来。另外,该
代码还用polyval函数计算了未来几十年的人口预测数量,并在另一个图表中绘制出来。
代码:
Close;
clc;
clear all %清除所有
n=5;%拟合多项式的次数
year=[1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910
1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990];
num=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5
123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4];%户籍人口;
p5= polyfit(year,num,n); %5阶拟合
%绘制原始数据和拟合曲线图
figure(1)
hold on;
xlabel('year'); %设置横坐标名
ylabel('num'); %设置纵坐标名
title('1790-1990人口增长曲线'); %设置标题
grid on %网格线
plot(year,num,'r*',year,polyval(p5,year))
legend('人口数量','拟合曲线')
figure(2)
year1=[1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910
1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030]
plot(year1,polyval(p5,year1))
people=polyval(p5,year1);
legend('人口预测数量')
结论:当t=2000 时人口为286.151、t=2010时人口为323.925、t=2020时人口为369.047。
误差分析:查询美国人口统计图表得出2000年为282.162、2010年人口为309.322、2020年人口
为329.484发现两者有一些差别,而且预测的时间越长,误差会逐渐增大,因为预测中无法考虑到
未来可能发生的各种变化因素。实际上随着人口数量的增加,自然资源、环境因素, 人口政策,
年龄和性别结构、地域特征等因素对人口数量的阻滞作用越来越明显,增长率不应取为常数。
四、总结及体会
通过这个数学建模的实例,我们可以体会到数学建模的重要性和难度。
在实际问题中,我们需要根据已知数据、假设和条件,将其量化为数学模型。经过推导和求解,得出模型所能提
供的结果。这个过程需要严谨的数学思维和运用一定的数学工具。
同时,在实际问题中,还需要考虑到数据的准确性、假设的合理性和模型的可靠性等因素。这些因素都会影响到
最终的模型结果和应用效果。因此,需要在建立模型的过程中,注重数据的采集、分析和处理,以及对假设和模
型的合理性进行判断和修正。
此外,我们还需要在建模的过程中,注重交流和合作。不同领域的专家拥有不同的知识背景和专业技能,他
们的合作和交流可以使得模型更加完善和全面。
总之,数学建模不仅是数学的一个应用领域,同时也涉及到多个学科,需要全面的知识储备和跨学科的合作
在实际问题中,需要注重思维方式、数据准确性和交流合作等因素,以期获得可信、可靠的模型结果。
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epoll简介及触发模式(accept、read、send)-epoll的简单介绍 epoll在LT和ET模式下的读写方式 一、epoll的接口非常简单,一共就三个函数:1. int epoll_create(int size);创建一个epoll的句柄,size用来告诉内核这个监听的数目一共有多大。这个参数不同于select中的第一个参数,给出最大监听的fd+1的值。需要注意的是,当创建好epoll句柄后,它就是会占用一个fd值,在linux下如果查看/proc/进程id/fd/,是能够看到这个fd的,所以在使用完epoll后,必须调用close关闭,否则可能导致fd被耗尽。2. int epoll_ctl(int epfd, int op, int fd, struct epoll_event *event);epoll的事件注册函数,它不同与select是在监听事件时告诉内核要监听什么类型的事件,而是在这里先注册要监听的事件类型。第一个参数是epoll_create的返回值,第二个参数表示动作,用三个宏来表示:EPOLL_CTL_ADD:注册新的fd到epfd中;EPOLL_CTL_MOD:修改已经注册的fd的监听事件;EPOLL_CTL_DEL:从epfd中删除一个fd;第三个参数是需要监听的fd,第四个参数是告诉内核需要监听什么事,struct epoll_event结构如下:struct epoll_event { __uint32_t events; /* Epoll events */ epoll_data_t data; /* User data variable */};events可以是以下几个宏的集合:EPOLLIN :表示对应的文件描述符可以读(包括对端SOCKET正常关闭); EPOLLIN事件:EPOLLIN事件则只有当对端有数据写入时才会触发,所以触发一次后需要不断读取所有数据直到读完EAGAIN为止。否则剩下的数据只有在下次对端有写入时才能一起取出来了。现在明白为什么说epoll必须要求异步socket了吧?如果同步socket,而且要求读完所有数据,那么最终就会在堵死在阻塞里。 EPOLLOUT:表示对应的文件描述符可以写; EPOLLOUT事件:EPOLLOUT事件只有在连接时触发一次,表示可写,其他时候想要触发,那要先准备好下面条件:1.某次write,写满了发送缓冲区,返回错误码为EAGAIN。2.对端读取了一些数据,又重新可写了,此时会触发EPOLLOUT。简单地说:EPOLLOUT事件只有在不可写到可写的转变时刻,才会触发一次,所以叫边缘触发,这叫法没错的!其实,如果真的想强制触发一次,也是有办法的,直接调用epoll_ctl重新设置一下event就可以了,event跟原来的设置一模一样都行(但必须包含EPOLLOUT),关键是重新设置,就会马上触发一次EPOLLOUT事件。1. 缓冲区由满变空.2.同时注册EPOLLIN | EPOLLOUT事件,也会触发一次EPOLLOUT事件这个两个也会触发EPOLLOUT事件 EPOLLPRI:表示对应的文件描述符有紧急的数据可读(这里应该表示有带外数据到来);EPOLLERR:表示对应的文件描述符发生错误;EPOLLHUP:表示对应的文件描述符被挂断;EPOLLET: 将EPOLL设为边缘触发(Edge Triggered)模式,这是相对于水平触发(Level Triggered)来说的。EPOLLONESHOT:只监听一次事件,当监听完这次事件之后,如果还需要继续监听这个socket的话,需要再次把这个socket加入到EPOLL队列里3. int epoll_wait(int epfd, struct epoll_event * events, int maxevents, int timeout);等待事件的产生,类似于select调用。参数events用来从内核得到事件的集合,maxevents告之内核这个events有多大,这个maxevents的值不能大于创建epoll_create时的size,参数timeout是超时时间(毫秒,0会立即返回,-1将不确定,也有说法说是永久阻塞)。该函数返回需要处理的事件数目,如返回0表示已超时。-------------------------------------------------------------------------------------------- 从man手册中,得到ET和LT的具体描述如下EPOLL事件有两种模型:Edge Triggered (ET)Level Triggered (LT)假如有这样一个例子:1. 我们已经把一个用来从管道中读取数据的文件句柄(RFD)添加到epoll描述符2. 这个时候从管道的另一端被写入了2KB的数据3. 调用epoll_wait(2),并且它会返回RFD,说明它已经准备好读取操作4. 然后我们读取了1KB的数据5. 调用epoll_wait(2)......Edge Triggered 工作模式:如果我们在第1步将RFD添加到epoll描述符的时候使用了EPOLLET标志,那么在第5步调用epoll_wait(2)之后将有可能会挂起,因为剩余的数据还存在于文件的输入缓冲区内,而且数据发出端还在等待一个针对已经发出数据的反馈信息。只有在监视的文件句柄上发生了某个事件的时候 ET 工作模式才会汇报事件。因此在第5步的时候,调用者可能会放弃等待仍在存在于文件输入缓冲区内的剩余数据。在上面的例子中,会有一个事件产生在RFD句柄上,因为在第2步执行了一个写操作,然后,事件将会在第3步被销毁。因为第4步的读取操作没有读空文件输入缓冲区内的数据,因此我们在第5步调用 epoll_wait(2)完成后,是否挂起是不确定的。epoll工作在ET模式的时候,必须使用非阻塞套接口,以避免由于一个文件句柄的阻塞读/阻塞写操作把处理多个文件描述符的任务饿死。最好以下面的方式调用ET模式的epoll接口,在后面会介绍避免可能的缺陷。 i 基于非阻塞文件句柄 ii 只有当read(2)或者write(2)返回EAGAIN时才需要挂起,等待。但这并不是说每次read时都需要循环读,直到读到产生一个EAGAIN才认为此次事件处理完成,当read返回的读到的数据长度小于请求的数据长度时,就可以确定此时缓冲中已没有数据了,也就可以认为此事读事件已处理完成。Level Triggered 工作模式相反的,以LT方式调用epoll接口的时候,它就相当于一个速度比较快的poll(2),并且无论后面的数据是否被使用,因此他们具有同样的职能。因为即使使用ET模式的epoll,在收到多个chunk的数据的时候仍然会产生多个事件。调用者可以设定EPOLLONESHOT标志,在 epoll_wait(2)收到事件后epoll会与事件关联的文件句柄从epoll描述符中禁止掉。因此当EPOLLONESHOT设定后,使用带有 EPOLL_CTL_MOD标志的epoll_ctl(2)处理文件句柄就成为调用者必须作的事情。然后详细解释ET, LT:LT(level triggered)是缺省的工作方式,并且同时支持block和no-block socket.在这种做法中,内核告诉你一个文件描述符是否就绪了,然后你可以对这个就绪的fd进行IO操作。如果你不作任何操作,内核还是会继续通知你的,所以,这种模式编程出错误可能性要小一点。传统的select/poll都是这种模型的代表.ET(edge-triggered)是高速工作方式,只支持no-block socket。在这种模式下,当描述符从未就绪变为就绪时,内核通过epoll告诉你。然后它会假设你知道文件描述符已经就绪,并且不会再为那个文件描述符发送更多的就绪通知,直到你做了某些操作导致那个文件描述符不再为就绪状态了(比如,你在发送,接收或者接收请求,或者发送接收的数据少于一定量时导致了一个EWOULDBLOCK 错误)。但是请注意,如果一直不对这个fd作IO操作(从而导致它再次变成未就绪),内核不会发送更多的通知(only once),不过在TCP协议中,ET模式的加速效用仍需要更多的benchmark确认(这句话不理解)。在许多测试中我们会看到如果没有大量的idle -connection或者dead-connection,epoll的效率并不会比select/poll高很多,但是当我们遇到大量的idle- connection(例如WAN环境中存在大量的慢速连接),就会发现epoll的效率大大高于select/poll。(未测试)另外,当使用epoll的ET模型来工作时,当产生了一个EPOLLIN事件后,读数据的时候需要考虑的是当recv返回的大小如果等于请求的大小,那么很有可能是缓冲区还有数据未读完,也意味着该次事件还没有处理完,所以还需要再次读取: 这里只是说明思路(参考《UNIX网络编程》) while(rs) {buflen = recv(activeevents[i].data.fd, buf, sizeof(buf), 0);if(buflen < 0){// 由于是非阻塞的模式,所以当errno为EAGAIN时,表示当前缓冲区已无数据可读// 在这里就当作是该次事件已处理处.if(errno == EAGAIN)break; else return; }else if(buflen == 0) { // 这里表示对端的socket已正常关闭. } if(buflen == sizeof(buf) rs = 1; // 需要再次读取 else rs = 0; } 还有,假如发送端流量大于接收端的流量(意思是epoll所在的程序读比转发的socket要快),由于是非阻塞的socket,那么send函数虽然返回,但实际缓冲区的数据并未真正发给接收端,这样不断的读和发,当缓冲区满后会产生EAGAIN错误(参考man send),同时,不理会这次请求发送的数据.所以,需要封装socket_send的函数用来处理这种情况,该函数会尽量将数据写完再返回,返回-1表示出错。在socket_send内部,当写缓冲已满(send返回-1,且errno为EAGAIN),那么会等待后再重试.这种方式并不很完美,在理论上可能会长时间的阻塞在socket_send内部,但暂没有更好的办法. ssize_t socket_send(int sockfd, const char* buffer, size_t buflen) { ssize_t tmp; size_t total = buflen; const char *p = buffer; while(1) { tmp = send(sockfd, p, total, 0); if(tmp < 0) { // 当send收到信号时,可以继续写,但这里返回-1. if(errno == EINTR) return -1; // 当socket是非阻塞时,如返回此错误,表示写缓冲队列已满, // 在这里做延时后再重试. if(errno == EAGAIN) { usleep(1000); continue; } return -1; } if((size_t)tmp == total) return buflen; total -= tmp; p += tmp; } return tmp; } 二、epoll在LT和ET模式下的读写方式 在一个非阻塞的socket上调用read/write函数, 返回EAGAIN或者EWOULDBLOCK(注: EAGAIN就是EWOULDBLOCK) 从字面上看, 意思是: * EAGAIN: 再试一次 * EWOULDBLOCK: 如果这是一个阻塞socket, 操作将被block * perror输出: Resource temporarily unavailable 总结: 这个错误表示资源暂时不够, 可能read时, 读缓冲区没有数据, 或者, write时,写缓冲区满了 。 遇到这种情况, 如果是阻塞socket, read/write就要阻塞掉。 而如果是非阻塞socket, read/write立即返回-1, 同 时errno设置为EAGAIN. 所以, 对于阻塞socket, read/write返回-1代表网络出错了. 但对于非阻塞socket, read/write返回-1不一定网络真的出错了. 可能是Resource temporarily unavailable. 这时你应该再试, 直到Resource available. 综上, 对于non-blocking的socket, 正确的读写操作为: 读: 忽略掉errno = EAGAIN的错误, 下次继续读 写: 忽略掉errno = EAGAIN的错误, 下次继续写 对于select和epoll的LT模式, 这种读写方式是没有问题的. 但对于epoll的ET模式, 这种方式还有漏洞. epoll的两种模式 LT 和 ET
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