信号与系统实战指南（13）：周期信号的傅里叶分解与频域解析

周期信号的傅里叶级数

1 周期信号三角形式的傅里叶级数

1.1 三角形式的傅里叶级数

广义傅里叶级数的 φ i ( t ) \varphi_i(t) φi​(t)选三角函数。

设周期信号$f(t)$，其周期为$T$，角频率（基波频率）$\Omega =2\pi /T$，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，可展开为三角形式的傅里叶级数。

系数 a n , b n a_n, b_n an​,bn​称为傅里叶系数。

由

得到 a n , b n a_n,b_n an​,bn​：

其中 a 0 2 \frac{a_0}{2} 2a0​​对应1的系数， K i = T K_i=T Ki​=T。

知道原函数$f(t)$就知道周期$T$，然后可以求得$\Omega$

注意：积分区间不一定要 [ − T 2 , T 2 ] [-\frac{T}{2},\frac{T}{2}] [−2T​,2T​]，只要是个整周期区间就行，比如$[0,T]$

写成 a 0 2 \frac{a_0}{2} 2a0​​的原因：使得 a 0 = 2 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) d t a_{0}=\frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \mathrm{d} t a0​=T2​∫−2T​2T​​f(t)dt可以包含在 a n a_n an​里面。

$n=0$时， b 0 = 0 ， 因 为 s i n ( 0 Ω t ) = 0 b_0=0，因为sin(0\Omega t)=0 b0​=0，因为sin(0Ωt)=0

a n a_n an​为$n$的偶函数， b n b_n bn​为$n$的奇函数

1.2 狄里赫利(Dirichlet)条件

条件1：在一个周期内，函数连续或只有有限个第一类间断点(间断点左右极限都存在)；

反例（无限个第一类间断点）：

条件2：在一个周期内，函数极大值和极小值的数目应为有限个；

反例：

条件3：在一个周期内，函数绝对可积。

反例：

1.3 .余弦形式的傅里叶级数

由辅助角公式:
a sin ⁡ x + b cos ⁡ x = a 2 + b 2 sin ⁡ ( x + ϕ ) ,  其中  tan ⁡ ϕ = b / a a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2} \sin ({x}+\phi), \quad \text { 其中 } \tan \phi=b / a asinx+bcosx=a2+b2 ​sin(x+ϕ), 其中 tanϕ=b/a
或：
a sin ⁡ x + b cos ⁡ x = a 2 + b 2 cos ⁡ ( x + ϕ ) ,  其中  tan ⁡ ϕ = − b / a a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2} \cos ({x}+\phi), \quad \text { 其中 } \tan \phi=-b / a asinx+bcosx=a2+b2 ​cos(x+ϕ), 其中 tanϕ=−b/a

含义：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。

1.4 吉布斯现象

用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的会出现振荡和超调量。超调量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少。

当选取的项数很大时，该超调量趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%，并从间断点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象称为吉布斯现象。

2 周期信号波形对称性和谐波特性

2.1 $f(t)$为偶函数

——对称于纵轴$f(t)=f(-t)$

$f(t)$为偶函数，$\sin (n\Omega t)$为奇函数，偶函数乘奇函数是奇函数，在 [ − T 2 , T 2 ] [-\frac{T}{2},\frac{T}{2}] [−2T​,2T​]积分为零。

2.2 $f(t)$为奇函数

——对称于原点 $f(t)=-f(-t)$

$f(t)$为奇函数，$cos(n\Omega t)$为偶函数，奇函数乘偶函数是奇函数，在 [ − T 2 , T 2 ] [-\frac{T}{2},\frac{T}{2}] [−2T​,2T​]积分为零。

2.3 $f(t)$为奇谐函数

——$f(t)=–f(t\pm T/2)$

其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量，即：

因为奇谐函数也是奇函数，所以也不含$\cos$项。

2.4 $f(t)$为偶谐函数

—— f ( t ) = f ( t ±