三角形内角总和的秘密
最编程
2024-02-16 20:59:05
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三角形的三个内角和为两个直角。
《几何原本》第一卷第32命题。
如图,在三角形ABC中,求证三个内角的和为两个直角。
证明:
延长AB到点E,作角FBE(即图中标记gamma角)与角A相等,
因为角CBE是三角形ABC的一个外角,所以,
角CBE大于角A(第一卷第16命题)。
所以,作图后,点F落在角CBE的内部。
且得
直线BF//直线AC(第一卷第28命题)。
由平行得,角C等于角CBF,即图中角C等于图中beta角。
设角ABC为图中alpha角,那么,因为ABE是直线,
所以,alpha,beta,gamma三个角的和为两个直角。
等量替换以后,得到,三角形的三个内角和为两个直角。
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补充说明:
这里先利用角度相等,作平行线。
然后,用平行线的性质,证明角度相等。
本质上讲,
外角定理(第一卷第16命题)决定了平行线的存在性;
第五公设决定了平行线的唯一性。
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