连续周期信号的傅立叶分解(FT)
最编程
2024-02-19 08:27:47
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前序：
连续时间周期信号的傅里叶级数表示
周期信号
成谐波关系的复指数信号集
傅里叶级数表示
傅里叶级数系数或频谱系数
傅里叶级数系数或频谱系数的确定
前序：
本博文上承接上篇博文：线性时不变系统（LTI）对复指数信号的响应（数字信号处理的特征值与特征函数）
下面的内容是对一类信号的傅里叶分析，傅里叶分析针对的复数变量是s以及z的特殊形式，例如在连续情况下仅涉及s的纯虚部值，即
，因此仅考虑
形式的复指数。类似地，在离散时间的情况下仅限于单位振幅的z值，即
，因此仅考虑
形式的复指数序列。
这些特殊的形式也可以叫做复正弦信号！
上篇博文的开头也说了，复正弦信号不仅是离散傅里叶变换的基函数，同时也是线性时不变系统的特征函数（信号）。这里不就可以理解它为什么是线性时不变系统的特征函数了吗？因为它作为LTI系统的输入，输出也为复正弦信号（复指数信号）呀，只不过幅度发生了变化！至于第一个问题，也就是基函数的问题，过一会也许就能找到答案！
连续时间周期信号的傅里叶级数表示
周期信号简单介绍
如果一个信号是周期的，那么对于所有的t，存在某个正值的T，有
x(t) = x(t+T), 对所有的T
这个T称为该周期信号的基波周期，为基波角频率。
成谐波关系的复指数信号集
手稿形式：
傅里叶级数表示
上面手稿已经贴出了一个由成谐波关系的复指数信号线性组合形成的信号，如果一个周期信号可以表示成上式那样，那么就称为该周期信号的傅里叶级数表示：
傅里叶级数系数或频谱系数
先直接给出频谱系数的表示形式，后面再证明为什么？
傅里叶级数系数或频谱系数的确定
直接给出手稿形式：
这个证明用用到了成谐波关系的复指数信号之间的正交性，也就是上面那个积分，不同频率的复指数信号（复正弦信号）之间的內积为0，如果想要详细了解这方面的知识，可以看博文：
內积空间
不看也罢，就一个很简单的积分而已，常识！