多元复合函数导数公式 - 掘金

多元复合函数求导的公式是链式法则，也称为复合函数求导法则。它用于求解由多个函数复合而成的复合函数的导数。链式法则表述为：

设函数 $z=f(y_1,y_2,\cdots,y_n)$，其中每个 $y_i$ 都是 $m$ 个自变量的函数 $y_i=g_i(x_1,x_2,\cdots,x_m)$ 的复合函数，即 $y_i=g_i(x_1,x_2,\cdots,x_m)$，且 $f$ 和 $g_i$ 都具有一阶连续偏导数，则有：

其中，$\frac{\partial z}{\partial x_j}$ 表示 $z$ 对 $x_j$ 的偏导数，$\frac{\partial z}{\partial y_i}$ 表示 $z$ 对 $y_i$ 的偏导数，$\frac{\partial y_i}{\partial x_j}$ 表示 $y_i$ 对 $x_j$ 的偏导数。

换句话说，链式法则告诉我们，多元复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数乘以内层函数对自变量的导数的积的总和。这个公式可以应用到任何多元复合函数的求导问题中。

需要注意的是，在实际使用中，有时需要对复合函数进行多次求导，此时需要多次应用链式法则，逐层求导。