复合函数导数公式运算 - 掘金

复合函数的求导公式是一个非常重要的微积分知识点，以下是详细的求导公式和运算规则：

假设有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，其中 $g(x)$ 可以表示为 $g(u)$，其中 $u$ 是另一个函数 $u(x)$ 的输出结果，即 $u(x)=g^{-1}(x)$，则复合函数 $h(x)=f(g(x))$ 的导数可以表示为：

$h'(x)=f'(g(x)) \cdot g'(x)$

其中 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 分别表示函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x$ 处的导数，也就是它们的斜率。

需要注意的是，复合函数求导的运算顺序是从里到外的，即先求内层函数的导数，再乘以外层函数的导数。这是因为外层函数的输入是内层函数的输出，因此在求导时需要使用链式法则进行计算。

举个例子，如果有 $h(x)=\sin(2x+1)$，则内层函数是 $2x+1$，外层函数是 $\sin(x)$。首先求出内层函数的导数为 $2$，然后求出外层函数在 $2x+1$ 处的导数为 $\cos(2x+1)$，最后将两个导数相乘即可得到 $h'(x)=2\cos(2x+1)$。

需要注意的是，如果复合函数中存在多个函数嵌套，则需要依次进行求导并相乘。同时，如果内层函数的导数不是常数，而是一个函数，则需要使用链式法则的扩展形式进行求导，即将内层函数的导数作为外层函数的导数的一部分进行计算。